Vääriä todistuksia

Päättelyvirheiden etsiminen matemaattisista todistuksista on usein hyödyllistä matematiikan opiskelijalle. Esitän kolme todistusta ilmiselvästi virheellisille väitteille. Lukijan tehtäväksi jääköön etsiä virhe. Monille tässä ei varmaankaan ole mitään ongelmaa, mutta toivon, että jutun juonta ei paljasteta kommenteissa ainakaan ihan heti.

Lause 1. Kaikki ympyrät ovat samasäteisiä.

Todistus. Oheisessa kuviossa on kaksi ympyrää, joiden keskipisteet ovat $A$ ja $B$. Jana $CD$ on ympyröiden yhteinen tangentti. Janoille $AB$ ja $CD$ asetetaan keskinormaalit. Nämä leikkaavat toisensa pisteessä $E$. Keskinormaaliominaisuuden takia janat $AE$ ja $BE$ ovat yhtä pitkät; sama koskee janoja $CE$ ja $DE$. Keskinormaaliominaisuudesta seuraa edelleen, että kulmat $ECD$ ja $EDC$ ovat yhtä suuret, jolloin myös kulmat $ACE$ ja $BDE$ ovat näiden komplementtikulmina yhtä suuret. Tällöin kolmiot $AEC$ ja $BED$ ovat yhtenevät. Vastinsivuina ympyröiden säteet $AC$ ja $BD$ ovat yhtä pitkät. QED

Lause 2. Kaikki positiiviset kokonaisluvut ovat yhtä suuria.

Todistus. Lause on suora seuraus apulauseesta: Jos $a$ ja $b$ ovat positiivisia kokonaislukuja, joille pätee $a \leq n$ ja $b \leq n$, niin $a = b$. Tämä voidaan todistaa induktiolla $n$:n suhteen.

Jos $n = 1$, ainoa mahdollisuus on, että $a = b = 1$, ja luvut siis ovat yhtä suuret. Induktion alku on siis kunnossa.

Induktioaskeleessa oletetaan, että lause pätee arvolla $n$, ja osoitetaan, että tällöin se pätee myös arvolla $n+1$. Olkoon siis $a \leq n+1$ ja $b \leq n+1$. Tällöin on $a-1 \leq n$ ja $b-1 \leq n$, jolloin induktio-oletuksen mukaan $a-1 = b-1$. Tästä seuraa $a = b$ ja induktioaskel on osoitettu. QED

Lause 3. Funktiolla $\sin(x)/x$ ei ole raja-arvoa, kun $x \to \infty$.

Todistus. Lausekkeessa \[\frac{x - \sin(x)}{x}\] osoittaja $x - \sin(x)$ lähestyy ääretöntä, kun $x \to \infty$. Sama koskee nimittäjää $x$. Tällöin lauseke saa rajaprosessissa $x \to \infty$ muodon $\infty/\infty$ ja voidaan soveltaa l'Hospitalin lausetta. Derivoimalla osoittaja ja nimittäjä saadaan \[\frac{1 - \cos(x)}{1} = 1 - \cos(x),\] joka heilahtelee välillä $[0,2]$ eikä sillä siis ole raja-arvoa. Tällöin ei myöskään lausekkeella \[\frac{x - \sin(x)}{x} = 1 - \frac{\sin(x)}{x}\] ole raja-arvoa, mistä seuraa väitös. QED

Funktion $\sin(x)/x$ kuvaaja