Päättelyvirheiden etsiminen matemaattisista todistuksista on usein hyödyllistä matematiikan opiskelijalle. Esitän kolme todistusta ilmiselvästi virheellisille väitteille. Lukijan tehtäväksi jääköön etsiä virhe. Monille tässä ei varmaankaan ole mitään ongelmaa, mutta toivon, että jutun juonta ei paljasteta kommenteissa ainakaan ihan heti.
Lause 1. Kaikki ympyrät ovat samasäteisiä.
Todistus. Oheisessa kuviossa on kaksi ympyrää, joiden keskipisteet ovat A ja B. Jana CD on ympyröiden yhteinen tangentti. Janoille AB ja CD asetetaan keskinormaalit. Nämä leikkaavat toisensa pisteessä E. Keskinormaaliominaisuuden takia janat AE ja BE ovat yhtä pitkät; sama koskee janoja CE ja DE. Keskinormaaliominaisuudesta seuraa edelleen, että kulmat ECD ja EDC ovat yhtä suuret, jolloin myös kulmat ACE ja BDE ovat näiden komplementtikulmina yhtä suuret. Tällöin kolmiot AEC ja BED ovat yhtenevät. Vastinsivuina ympyröiden säteet AC ja BD ovat yhtä pitkät. QED
Lause 2. Kaikki positiiviset kokonaisluvut ovat yhtä suuria.
Todistus. Lause on suora seuraus apulauseesta: Jos a ja b ovat positiivisia kokonaislukuja, joille pätee a≤n ja b≤n, niin a=b. Tämä voidaan todistaa induktiolla n:n suhteen.
Jos n=1, ainoa mahdollisuus on, että a=b=1, ja luvut siis ovat yhtä suuret. Induktion alku on siis kunnossa.
Induktioaskeleessa oletetaan, että lause pätee arvolla n, ja osoitetaan, että tällöin se pätee myös arvolla n+1. Olkoon siis a≤n+1 ja b≤n+1. Tällöin on a−1≤n ja b−1≤n, jolloin induktio-oletuksen mukaan a−1=b−1. Tästä seuraa a=b ja induktioaskel on osoitettu. QED
Lause 3. Funktiolla sin(x)/x ei ole raja-arvoa, kun x→∞.
Todistus. Lausekkeessa x−sin(x)x osoittaja x−sin(x) lähestyy ääretöntä, kun x→∞. Sama koskee nimittäjää x. Tällöin lauseke saa rajaprosessissa x→∞ muodon ∞/∞ ja voidaan soveltaa l'Hospitalin lausetta. Derivoimalla osoittaja ja nimittäjä saadaan 1−cos(x)1=1−cos(x), joka heilahtelee välillä [0,2] eikä sillä siis ole raja-arvoa. Tällöin ei myöskään lausekkeella x−sin(x)x=1−sin(x)x ole raja-arvoa, mistä seuraa väitös. QED
![]() |
Funktion sin(x)/x kuvaaja |
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti