Pintojen mallit

Olen vanhassa työpaikassani Teknillisen korkeakoulun — nykyään Aalto-yliopiston — matematiikan laitoksella järjestelemässä geometrian mallikokoelmaa. Muun ohella tähän kuuluu yli sata vuotta vanhoja matemaattisten pintojen kipsi- ja lankamalleja. Pintojen geometrian tutkimus oli tuolloin varsinkin Saksassa varsin intensiivistä ja mallit olivat havainnollistuksia. Olen näistä kirjoittanut aikaisemminkin, postauksessani 24.5.2013.  Silloin kokoelma purettiin tilojen peruskorjauksen ajaksi ja nyt se järjestetään uudelleen uusiin korjattuihin tiloihin.

Olen edellisen kerran järjestänyt kokoelman vuonna 1966, jolloin malleja koskevia lähteitä ei ollut niinkään helppoa löytää. Lähinnä käytin repaleista, mutta huolellisesti laadittua saksalaista myyntiluetteloa vuodelta 1911. Nyt tilanne on täysin toinen: kyseinen luettelo monen muun vastaavan ohella on verkossa skannattuna, monien yliopistojen verkkosivuilta löytyy hyvin dokumentoituina tiedot näiden kokoelmista, malleista on Groningenin yliopistossa tehty väitöskirjakin.

Laskentaohjelmilla voi piirtää kuvia pinnoista ja pyöritellä niitä ruudulla, joten uusiakin mahdollisuuksia havainnollistamiseen on. Esimerkkinä olkoon yksivaippaisen hyperboloidin Centrafläche, kuten mainittu myyntiluettelo sanoo. Kipsimallin kuva on ohessa. Hieman kummallinen pinta: sileän pinnan sivuilla on palteita ja jonkinlaisia väkäsiä. Mistä mahtaa olla kyse?

Kipsimalli

Mallin vanhat esitetekstit viittasivat jollakin tavoin pinnan, siis yksivaippaisen hyperboloidin kaarevuuskeskuksiin. Differentiaaligeometrian mukaan pinnan jokaiseen pisteeseen liittyy kaksi pääkaarevuutta, jotka vastaavat pinnan normaalileikkauskäyrän suurinta ja pienintä kaarevuutta. Kumpaakin vastaa kaarevuusympyrä, jolloin kyse saattaisi olla näiden keskipisteiden muodostamista urista.

Asian varmistamiseksi päätin piirtää kyseiset urat. Laskentaohjelmissa on nykyään aika vahvoja työkaluja, joten työ ei ehkä olisi aivan mahdoton. Eikä se ollutkaan, tulos tuli Mathematicalla pikemminkin helposti. Tosin lausekkeet eivät ole aivan yksinkertaisia: esimerkiksi toisen urapinnan parametrimuotoinen x-koordinaatti on
\begin{align*}
\frac{1}{80} \sqrt{4 v^2+1}\, &\cos (u)
\biggl(42 \bigl(4 v^2+1\bigr)
\cos (2 u)\\
-\sqrt{2}\, &\sqrt{2604 \bigl(16 v^4-1\bigr) \cos (2 u)+441 \bigl(4
   v^2+1\bigr)^2 \cos (4 u)+37808 v^4+4792 v^2+2363}+248 v^2+146\biggr)
\end{align*}

Parametriesitysten perusteella urapinnat sitten olikin suoraviivaista piirtää:

Kaksi läpikuultavaa urapintaa, punainen ja vihreä

Tulos on kipsimallia havainnollisempi. Koska toinen pinta jää suurelta osalta toisen sisään, siitä ei massiivisessa kipsimallissa voi paljon näkyä.  Tietokoneella tehtyyn kuvaan sen sijaan voidaan määritellä läpikuultavuutta ja katselusuuntaa voidaan kohdetta pyörittelemällä vaihtaa, jolloin kuvasta voi todeta pintojen putkimaisuudenkin: pystysuorassa voi kulkea läpi.

Mathematicasta saa ulos myös 3D-tulostimen tarvitseman määrittelytiedoston.  Pitänee vielä kokeilla, saako tällä tavoin todellakin pintamallin, ei massiivista kappaletta.