Peruskoulualgebraa

Kaappaus YouTube-videosta (Päivi Portaankorva-Koivisto ja Sirpa Wass)

Kaltaiseni urallaan yliopistotason matematiikan kursseja opettanut henkilö tietää ehkä pääpiirteittäin, mitä lukion matematiikka sisältää ja mitkä ovat sen näkökulmat. Peruskoulu sen sijaan on usein jäänyt vähemmälle huomiolle. Omien lasten peruskouluvuosistakin on jo aikaa. Tietoisuudessa on lähinnä taakse jäänyt joukko-oppi ja viime aikoina esitetyt väitteet, että peruskoulussa ei enää luoda tukevaa matemaattista pohjaa.

Muutaman kerran olen selannut digitaalisia oppimateriaaleja ja hiljattain osuin katsomaan Päivi Portaankorva-Koiviston ja Sirpa Wassin YouTube-videoita algebran peruskäsitteiden havainnollistamisesta. En tiedä, onko nämä tarkoitettu peruskoulun tunneilla käytettäviksi vai ovatko ne opettajakoulutuksen materiaalia, mutta aika erikoisen näkökulman ne minusta algebraan antavat. Jos algebraan todella lähdetään näin, niin en ihmettele, jos asia koululaiselle jää hämäräksi.

Lähtökohta on hyvä: kirjaimet tarkoittavat lukuja, joita ainakaan siinä vaiheessa ei tarkemmin tunneta tai haluta täsmentää. Sitten kerrotaan, että termi on olio, jossa on etumerkki, kerroin ja kirjainosa. Tämä kuitenkin johtaa väärään mielikuvaan. Oleellista on, että termit ovat lausekkeita, joita lasketaan yhteen, mutta tämä jää sanomatta. Termien muoto voi olla mutkikkaampikin, vaikkapa lausekkeessa $abc + 1/x + (x+y)^3$ on kolme termiä. Toki tällaisia lausekkeita ei aivan heti aleta käsitellä, mutta periaatteessa esimerkki on ymmärrettävissä ja johtaa oikeaan mielikuvaan lausekkeesta ja termistä.

En oikein ymmärrä tapaa, jolla lausekkeiden yhteenlaskussa päädytään yhdistämään ns. samanmuotoiset termit. Esimerkissä (kuva ylhäällä) on kaksi joukkoviivaa (!), toisen sisällä kolme neliötä ja neljä ympyrää, toisen sisällä yksi neliö ja kaksi ympyrää. Näitä kuvataan lausekkeella $(4y+3n) + (2y+1n)$. Mitä tämä sitten on? Kirjaintenhan piti tarkoittaa lukuja eikä geometrisia olioita. Laskemalla kaikki neliöt ja kaikki ympyrät saadaan neljä neliötä ja kuusi ympyrää, siis $4n + 6y$. Tässä on siis kertoimet laskettu yhteen aina kun kirjainosat ovat samat. Mutta miten tämä sääntö sopii tilanteeseen, jossa $y$ ja $n$ ovatkin lukuja? Onko niin, että oppilaan pitää vain uskoa ja muistaa sääntö, mutta ei miettiä sen yhteyttä lukuihin?

Katsoin, miten asia on esitetty yli puoli vuosisataa vanhassa K. Väisälän Algebran oppi- ja esimerkkikirjassa. Täälläkin kirjaimet tarkoittavat lukuja. Lausekkeen käsite on selitetty sanoin, mukana useita esimerkkejä, yhtenä \[\dfrac{7x-4}{xy}.\] Sama koskee termin käsitettä ja termien samanmuotoisuutta. Esimerkiksi kuuden termin lauseke \[rx - 3sx-1+2sx+2r+2\] voidaan samanmuotoiset termit yhdistämällä saataa kahteen eri muotoon riippuen siitä, mitä pidetään kirjainosana ja mitä kertoimena: \[rx - sx + 2r + 1 = (r-s)x + (2r+1).\] Edellisessä on neljä termiä, jälkimmäisessä kaksi. Sivutuotteena tulee ymmärrys siitä, että sieventämisen tulos ei ole yksikäsitteinen, vaan riippuu sieventämisen tavoitteesta.

Samanmuotoisten termien yhdistämisen Väisälä perustelee osittelulailla: $a(b+c) = ab + ac$ tai toisin kirjoitettuna $ba + ca = (b+c)a$. Tällöin siis esimerkiksi $5x + 4x = (5+4)x = 9x$. Tämä luonnollisesti edellyttää, että osittelulaki tunnetaan aikaisemmasta. En tiedä, opetetaanko se nykyään ennen kirjainlaskennan aloittamista. Minusta pitäisi. Millään tavoin mahdotontahan se ei ole. Tilanne on esimerkki matematiikan opiskelun kumulatiivisuudesta: uudet asiat rakentuvat aikaisemmin opitun päälle. Jos tästä logiikasta ei pidetä kiinni, matematiikan opiskelu muuttuu irrallisen silpputiedon opetteluksi vailla ymmärrystä. (On kyllä myönnettävä, että aikoinani pidin laskulakien opettelua aritmetiikan yhteydessä tylsänä ja tarpeettomana, vaikka niillä oli käyttöä päässälaskussakin. Algebra kyllä sitten näytti niiden merkityksen ja muutin mieleni.)

Osittelulakiin vetoaminen painottaa myös usein väärin ymmärretyn yhtäläisyysmerkin merkitystä. Kyse on nimenomaan yhtäsuuruudesta, ei siitä, että vasemmasta puolesta 'tulee' oikea puoli. Osittelulaki toimii molemmin päin: se on joko menettely sulkujen poistamiseen (lausekkeen 'kehittämiseen', englanniksi expand) tai yhteisen tekijän ottamiseen.

On tietenkin totta, että matematiikassa käytetään kirjainsymboleja muutoinkin kuin viittaamassa lukuihin. Näin käy jo lukiossakin puhumattakaan yliopistollisesta abstraktin algebran kurssista. Hyppy aritmetiikasta peruskoulualgebraan on ensimmäinen askel abstraktiotason lisäämisen tiellä, eikä siitä minusta pidä tehdä tarpeettoman vaikeata. Edellä mainittu ympyrä-neliö-malli tuskin auttaa vektoreiden yhteenlaskun ymmärtämisessä, vaikka asiat hallitseva ehkä näkeekin ympyrät ja neliöt lineaarisesti riippumattomiksi.

Kuten sanottu, en ole erityisen hyvin perehtynyt peruskoulun oppimateriaaleihin. Olen kuitenkin tavannut edellä kritisoimani opetustavat joissakin muissakin materiaaleissa. Kuinka yleisiä ne ovat, en osaa sanoa. Mieleen hiipii epäily, että johtuisiko matemaattisen osaamisen rapautuminen tavasta, jolla asioita opetetaan. (Ehkä syytä todeta, että tässä yhteydessä ei niinkään ole kyse sellaisesta osaamisesta, jota PISA-tutkimuksissa on testattu, vaan pohjasta myöhemmille matematiikan opinnoille.)

Selasin kiinnostuksella Väisälän kirjaa. Sillä on ikää eikä se varmasti olisi ihanneoppikirja tämän päivän maailmassa. Mutta kirjasta näkee, että Väisälä on tarkoin miettinyt, miten asiat kannattaa ymmärrettävästi ja johdonmukaisesti esittää. Väisälä myös selvisi kolmen luokan algebraosuudesta harjoitustehtävineen 150 sivulla. Voisin Väisälää suositella oppimateriaalintekijöiden oheislukemistoksi.

Väisälän esitys samanmuotoisten termien yhdistämisestä

Chambordin linnan portaikko

Chambordin linna (Wikipedia, Benh LIEU SONG, 2012, CC BY-SA 3.0)

Ranskan kuningas Frans I rakennutti 1500-luvulla Chambordin linnan Loire-joen laaksoon (Wikipedia-artikkeli ranskaksi, englanniksi). Linnan pääportaikko perustunee Leonardo da Vincin ideaan ja siinä voi samanaikaisesti toinen henkilö nousta ylöspäin, toinen laskeutua alaspäin, ilman että he kohtaavat tai edes ovat välttämättä tietoisia toisistaan.

Millainen portaikon rakenne voi olla?

Kyseessä on kierreportaikko, jolloin rakenne perustuu ruuviviivaan: \begin{align*} x &= a\cos(t), \\ y &= a\sin(t), \\ z &= bt, \end{align*} vektorimuodossa $p = (a\cos(t), a\sin(t), bt)$. Tässä $t$ on parametri, jonka jokaista arvoa kohden saadaan yksi ruuviviivan piste. xy-tason pisteet $(a\cos(t), a\sin(t))$ sijaitsevat origokeskisellä $a$-säteisellä ympyrällä, jolloin ruuviviiva sijaitsee tämän ympyrän yläpuolella ja z-koordinaatti määrää pisteen korkeuden. Vakio $b$ ($> 0$) on ruuviviivan nousu, ts. siitä riippuu, miten nopeasti viiva nousee $t$:n kasvaessa. Parametri $t$ ilmaistaan radiaaneissa, jolloin $2\pi$:n suuruinen kasvu tarkoittaa yhtä kierrosta.

Ruuviviiva; kaksi kierrosta

Ruuviviivan akseli on z-akseli. Sijoitetaan tälle piste, joka on samalla korkeudella kuin parametriarvoa $t$ vastaava ruuviviivan piste: $q = (0,0,bt)$.

Pisteiden $p$ ja $q$ kautta kulkevan suoran parametriesitys on $r = q + u(p - q)$, missä $u$ on parametri. Tämä voidaan kirjoittaa usein mukavampaan muotoon $r = up + (1-u)q$. Jos $0 < u < 1$, piste $r$ on pisteiden $p$ ja $q$ välissä.

Kun pisteiden $p$ ja $q$ lausekkeet pannaan paikoilleen, saadaan \[ r = u(a\cos(t), a\sin(t), bt) + (1-u)(0,0,bt), \] minkä voi halutessaan sieventääkin: $r = (ua\cos(t), ua\sin(t), bt)$. Tässä on kaksi parametria, $t$ ja $u$. Piste $r$ sijaitsee parametrin $t$ määräämällä suoralla parametrin $u$ määräämässä kohdassa. Yhdessä pisteet $r$ muodostavat pinnan, jonka parametriesitys $r$:n lauseke on. Pintaa kutsutaan ruuvipinnaksi.

Ruuvipinta; kaksi kierrosta, $-2 \le u \le 2$

Lisäämällä parametrivälejä $0 \le t \le 4\pi$ ja $0 \le u \le 1$ vastaavaan ruuvipintaan askelmat, saadaan monissa linnojen torneissa käytetty jyrkkä ja hankala portaikko.

Ruuvipinnan muodostama jyrkkä portaikko

Ruuvipinnasta voidaan kuitenkin leikata myös kaksi erillistä kaistaletta valitsemalla $1 \le u \le 3$ ja  $-3 \le u \le -1$. Varustamalla nämä askelmilla saadaan kaksoisportaikko, jossa on kaksi samaan suuntaan kiertyvää nousua. Toinen saadaan toisesta kiertämällä akselin ympäri 180 astetta. Chambordin portaikko on tällainen. Jos keskelle vielä asetetaan ikkunaton tukipylväs, portaita pitkin eri puolilla liikkuvat henkilöt eivät havaitse toisiaan.

Ruuvipintojen muodostama kaksoisportaikko

YouTubesta löytyy havainnollistus, joka osoittaa, että portaikossa todella voi kulkea eri suuntiin toisiaan kohtaamatta.