sunnuntai 12. syyskuuta 2021

Paina nappia, ei tarvitse ymmärtää

Facebook-keskustelussa kerrottiin, että Microsoftin Edge-selaimessa on Maths Solver -niminen matematiikkaohjelma. Oletuksena se ei tosin ole näkyvissä, mutta asetuksista (Settings/Appearance) saa käynnistyspainikkeen yläpalkkiin. Jos selaimessa on auki jokin matematiikkaa sisältävä dokumentti, siinä olevan kaavan tai yhtälön saa kopioiduksi Solveriin ja käynnistettyä ratkaisemisen (mitä se sitten onkin). Erinomainen työkalu etäopiskelijalle: opettaja antaa tehtävät nettidokumentissa, yhtälö tai kaava kopioidaan Solveriin, painetaan nappia ja tulos on valmis! Ei rasittavaa ajattelua.

Kokeilin tietenkin kaikenlaista. Alla olevassa kuvassa on erään juuriyhtälön ratkaisu. Kysyin Facebook-keskustelussa, millaisia ajatuksia tämä herättää. Vastauksia ei juurikaan tullut, joten ilmeisesti pohdintaa ei ihmeemmin herännyt. Minusta olisi pitänyt. Tuloshan on koulukurssin pohjalta hämmentävä, kun on opittu, että negatiivisesta luvusta ei voi ottaa neliöjuurta. Siitä huolimatta tulos on oikea. Vastauksen merkintä complex solution vihjaakin, että on kyse kompleksiluvuista. Vihjeellä on kuitenkin merkitystä vain henkilölle, joka tietää edes jotakin kompleksiluvuista.



Erilaisten laskentavälineiden ja -ohjelmien yleistyessä tällaisiin — ja vastaaviin — tilanteisiin törmätään toistuvasti. GeoGebrakin ratkaisee edellä mainitun juuriyhtälön samalla tavoin. Sen matemaattisen sivistyksen, jota ainakin pitkän matematiikan lukijalle tarjotaan, tulisikin sisältää sellainen periaatteellinen tieto monista asioista, että laskentavälineiden ymmärtäminen on mahdollista ja syntyy kyky tarvittaessa hankkia lisätietoja. Tällaisiahan netti kyllä tarjoaa, mutta jonkinlainen pohja dokumenttien lukemisessa on tarpeen.

Alla on toinen esimerkki, jossa Maths Solveriin on syötetty lauseke $\tan(x+y)$. Ajattelin alunperin, että tästä ehkä tulisi tangentin yhteenlaskukaava, mutta Solver derivoikin lausekkeen $x$:n suhteen ja sai aika monimutkaiselta näyttävän tuloksen. Pieni tarkastelu osoittaa kuitenkin, että osoittaja sievenee ykköseksi ja tulos on mitä pitääkin. Elementaari sievennystaito on edelleen tarpeen. Jos Mathematicalta pyydetään vastaavaa derivaattaa, saadaan $\sec(x+y)^2$, mikä sekin saattaa olla hämäävä, ellei ole koskaan kuullut, että trigonometrisia funktioita on enemmänkin kuin Suomessa tavallisesti opetetaan. Sekantti on yksinkertaisesti kosinin käänteisarvo ja käytössä sangen yleisesti ainakin anglosaksisissa maissa. Tästäkin mahdollisuudesta olisi hyvä tietää.



Ei tietenkään voida ajatella, että lukion matematiikkaan pitäisi lastata kaiken aiemman lisäksi kompleksilukuja ja enemmän trigonometrisista funktioista ja ties mistä kaikesta. Rajansa raskaudellakin. Näkökulma sen sijaan pitäisi miettiä uudelleen: millaiseen osaamiseen oikein pyritään. Nykyäänhän lähinnä opitaan laskemaan tiettyjä peruslaskuja ja ajatellaan, että niiden osaaminen indikoi riittävää matematiikan ymmärtämistä. Maths Solverin kaltaiset helppokäyttöiset laskentavälineet pudottavat pohjan tältä ajattelulta. Peruslaskujen laskeminen ei enää edes ole yhtä tärkeää kuin aiemmin, koska välineet ovat tarjolla. Sen sijaan tarvitaan kyky käyttää välineitä oikein ja ymmärtää, mitä ne tekevät. Kukin aika käyttää niitä välineitä, joita sille on tarjolla.

Panin Maths Solverin sieventämään hieman monimutkaisemman lausekkeen: \[\left(1 + \frac{a}{b}\right)^2 \left[1 + \left(\frac{b}{a+b} - 1\right)\left(\frac{b}{a-b} + 1\right)\right].\] Oikea tulos \[-\frac{a+b}{a-b}\] tulee ongelmitta ja lisäksi on mahdollisuus pyytää laskun välimuodot. Askelia on aika paljon, mutta lista on selkeä ja johdonmukainen. Tosin hieman lyhyemminkin voisi päästä. Mallilaskua voi tietenkin pitää opiskelijan kannalta hyödyllisenä. Jos ei keksi mitä tehdä, voi katsoa valmista ratkaisua ja opetella siitä. Tällä on kuitenkin myös varjopuolensa. Valmiin katsominen ruokkii näkemystä, että tehtävä pitää ratkaista näin. Aletaan herkästi opetella ratkaisurutiinia ajattelun sijasta. Tämänhän ei oikeastaan pitäisi olla tavoite vaan oppia luovasti käyttämään niitä mahdollisuuksia, mitä matematiikka tarjoaa. Toisaalta tietysti ulkoa opittu ratkaisurutiini on parempi kuin ei ratkaisua ollenkaan. Ulkoa oppiminen voi myös olla ensimmäinen askel ymmärtämisen suuntaan.

Helposti saatavilla olevia laskentavälineitä on monia ja lisää varmaankin tulee. Tablettiin ja kännykkäänkin saa Maple Calculatorin, johon yhtälön tai lausekkeen voi syöttää kameralla kuvaamalla. Tunnistaa aika hyvin myös käsinkirjoitettua tekstiä. Alla olevassa kuvassa on tulostus aiemmin käsitellystä juuriyhtälöstä. Tämäkin tulostus on hieman hämäävä: Mitä tekemistä puolittain derivoidulla ja puolittain integroidulla yhtälöllä on alkuperäisen yhtälön kanssa?



Mitä uusista mahdollisuuksista sitten kaikkiaan pitäisi ajatella? Lähtökohtana mielestäni on, että jokaisella aikakaudella on työkalunsa, joita on opittava käyttämään. Opetuksen sisältö on valittava siten, että se tukee aikakauden työkalujen käyttöä yleisesti eikä vain tiettyjen vain koulussa käytettävien ohjelmistojen käyttöä. Toisaalta on annettava eväät ja kiinnostus laskujen matemaattisen taustan ja yleisemmin abstraktin matematiikan ymmärtämiseen. On myös kyettävä katsomaan ylioppilaskokeen yli. Koe voi olla aakkos- tai pituusjärjestystä parempi valintamenettely jatko-opintoihin, mutta opetuksella tulee olla muitakin (ehkä ihanteellisiakin) tavoitteita.

Periaatteista on vielä pitkä matka siihen, mitä ja miten pitäisi opettaa ja miten muutokset toteutetaan. Pohtimista ja harkintaa tarvitaan, jotta ei olla vain nopeasti kehittyvän tekniikan perässä juoksijoita. Nopea syöksy uuteen ei ehkä sekään ole hyväksi. 60-luvun joukko-oppi-innostuksen virheitä ei ole syytä toistaa.


Ei kommentteja: