Geodeettinen käyrä

Pallon geodeettinen käyrä (iso ympyrä)	Lieriön geodeettinen käyrä (ruuviviiva)

Minua on aina jollakin tavoin viehättänyt differentiaali- ja integraalilaskennan käyttö geometriassa, ns.  differentiaaligeometria. Käyrät ja pinnat esitetään parametriesityksen avulla, lasketaan kaarenpituuksia, normaalisuuntia, kaarevuuksia, pinta-aloja jne. Vähänkään kummallisemman käyrän tai pinnan tapauksessa johdutaan herkästi mutkikkaisiin lausekkeisiin tai integraaleihin, joiden laskeminen alkeisfunktioiden avulla ei onnistu. Opiskeluaikanani kuvien piirtämisestä tuli työlästä tai lähes mahdotonta. Oppikirjojen tai luentojen esimerkit olivat niitä muutamia lähes itsestään selviä tapauksia, joissa laskeminen ja piirtäminen oli mahdollista.

Helposti käytettävien laskentaohjelmien tulo on muuttanut tilanteen. Hankalista lausekkeista huolimatta kuva syntyy vaivatta (joskus tosin vaivoin); jos symbolinen integrointi ei onnistu, käytetään numeerista.  Jäin miettimään, miltä geodeettiset käyrät mahtaisivat näyttää jollakin hieman kummallisemmalla pinnalla. Pallo ja lieriö ovat helppoja tapauksia, mutta miten olisi vaikkapa ellipsoidi?

Ensin on kuitenkin päätettävä, mitä geodeettisen käyrän luonnehdintaa halutaan käyttää. Tavallisinta lienee ajatella geodeettista käyrää lyhimpänä pintaa pitkin kulkevana käyränä, joka yhdistää kaksi annettua pistettä. Tämä ei kuitenkaan kata koko ongelmaa. Esimerkiksi pallon pinnalla lyhin kahta pistettä yhdistävä käyrä on ison ympyrän kaari, kahdesta pisteitä yhdistävästä kaaresta lyhyempi.  Pallon toiselta puolelta kiertävää pitempää kaarta on kuitenkin järkevää myös ajatella geodeettisena käyränä. Onhan se jonkinlainen 'suora viiva' pallon pinnalla. Toinen luonnehdinta onkin ajatella geodeettista käyrää pinnalla kulkevana käyränä, joka ei tarpeettomasti mutkittele. Tämä luonnollisesti vaatii täsmällisemmän määrittelyn.

Edellinen luonnehdinta johtaa variaatiolaskentaan. Parametripinnalla \[ s(u,v) = \Bigl(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\Bigr) \] olevalle käyrälle \[ c(t) = \Bigl(x\bigl(u(t),v(t)\bigr),y\bigl(u(t),v(t)\bigr),z\bigl(u(t),v(t)\bigr)\Bigr) \] on etsittävä sellainen parametrisointi $\bigl(u(t),v(t)\bigr)$, joka antaa minimiarvon (tai ääriarvon) käyrän kaarenpituudelle $\int_0^1 \lVert c'(t)\rVert\,dt$. Variaatiolaskennan tavanomainen menettely antaa tällöin toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön funktioille $u(t)$ ja $v(t)$ (variaatiolaskennan Eulerin yhtälö). Lisäksi tarvitaan ehto säätämään parametrin $t$ kasvunopeutta, esimerkiksi $\lVert(u'(t),v'(t))\rVert =$ vakio eli $u'(t)u''(t) + v'(t)v''(t) = 0$. Kyseessä on kahden tuntemattoman funktion ja kahden yhtälön toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmä. Koska käyrän päätepisteet ovat kiinnitetyt, tiedetään $u(0)$, $v(0)$, $u(1)$ ja $v(1)$, jolloin kyseessä on reuna-arvoprobleema.

Pinnan parametriesityksestä riippuu, onnistuuko reuna-arvoprobleeman ratkaisu alkeisfunktioiden avulla; useimmiten ei. Hyvät laskentaohjelmat — minulla Mathematica — onnistuvat kuitenkin usein ratkaisemaan tällaiset ongelmat numeerisesti. Tällöin $u(t)$ ja $v(t)$ saadaan interpoloivina funktioina, joita voidaan käyttää esimerkiksi kuvan piirtämiseen. Aina ratkaisu ei onnistu eikä reuna-arvoprobleeman ratkaisu ole välttämättä edes yksikäsitteinen.

Toinen luonnehdinta, geodeettinen käyrä 'suorana viivana' pinnalla, voidaan täsmällistää vaatimalla, että käyrän tangenttivektorin $c'(t)$ muutos — sen derivaatta $c''(t)$ — on kohtisuorassa pintaa vastaan jokaisessa käyrän pisteessä. Tämä sisältää sekä sen, että käyrä ei tarpeettomasti mutkittele, että parametrin tasaisen kasvamisen (suhteessa kaarenpituuteen). Kohtisuoruus pintaa vastaan tarkoittaa kohtisuoruutta pinnan tangenttivektoreita $\mathrm{D}_u s\bigl(u(t),v(t)\bigr)$ ja $\mathrm{D}_v s\bigl(u(t),v(t)\bigr)$ vastaan, ts. että skalaaritulot ovat $= 0$. Tuloksena on tässäkin kahden tuntemattoman funktion ja kahden yhtälön toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmä funktioille $u(t)$ ja $v(t)$. Tälle on luonnollista antaa alkuehdot: alkupiste ja alkusuunta, ts. arvot $u(0)$, $v(0)$, $u'(0)$ ja $v'(0)$. Tällöin ratkaisukin on yksikäsitteinen differentiaaliyhtälöiden yleisen yksikäsitteisyyslauseen mukaisesti.

Millaisia kuvia sitten syntyy?

Pallon tapauksessa saadaan ison ympyrän kaaria kuten odotettavissa onkin. Lieriön geodeettiset käyrät ovat ruuviviivoja (tai lieriön emäsuoria). Kumpikin voidaan laskea alkeisfunktioiden avulla eikä numeerisia ratkaisuja tarvita.

Ellipsoidin geodeettiset käyrät ovat hieman erikoisempia: ne eivät välttämättä sulkeudu. Alla oleva kuvio on laskettu alkuarvoprobleemana antamalla käyrän alkupiste ja alkusuunta (ja parametrin maksimiarvo).

Ellipsoidin geodeettinen käyrä

Pinta $z = 5/(1+x^2+y^2)$ kuvaa jonkinlaista vuorenhuippua. Jos lasketaan reuna-arvoprobleemana kahta vastakkaista pistettä yhdistävä käyrä, saadaan vuorenhuipun yli kulkeva käyrä, siis mahdollisimman pitkä reitti. Samoja pisteitä yhdistää kuitenkin myös lyhin reitti, mutta Mathematican reuna-arvoprobleeman ratkaisualgoritmi ei löydä tätä. Alkuarvoprobleemana se löytyy, mutta oikea lähtösuunta on haettava kokeilemalla. Muuttamalla alkuarvoprobleeman lähtösuuntaa löydetään hieman erikoisempiakin geodeettisia käyriä (alin kuvio).

Laskentaohjelma tarjoaa myös kokonaan toisenlaisen tavan etsiä kahden pisteen lyhin etäisyys pintaa pitkin kulkemalla. Yritän palata tähän jossakin tulevassa postauksessa.