Kumpi on vaikeampaa: määritelmän tekeminen vai teoreeman todistaminen?

Matemaatikon tehtävä nähdään toisinaan lauseiden eli teoreemojen todistamiseksi. Joku on antanut määritelmät ja formuloinut lauseet, minkä jälkeen matemaatikko todistaa ne. Pätee ehkä koulussa ja ylioppilaskokeessa, matematiikkakilpailuissa, mutta vaativampi tehtävä voi hyvinkin olla luoda järkeviä määritelmiä ja formuloida lauseita tai otaksumia, jotka osoittautuvat paikkansapitäviksi.

Lukija voi vaikkapa pohtia — ellei ennestään tiedä — miksi kakkonen määritellään alkuluvuksi, mutta ykköstä ei. Toisena esimerkkinä puolisuunnikkaan määritelmä.

Esitän seuraavassa hieman mutkikkaamman asetelman lukijan ihmeteltäväksi. Ne lukijat, jotka tietävät, mistä on kyse, vaietkoot, jotta ei pilata muiden iloa liian aikaisin. Lähteitä toki saa käyttää, mutta asiasta tietävät älkööt kavaltako avainsanoja.

Siis: Olkoon $\delta$ reaaliakselilla määritelty funktio, jolle pätee $\delta(x) = 0$, kun $x \neq 0$. Origossa funktion arvo on niin vahvasti ääretön, että
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\,dx = 1.
\]

Ja sitten pohtimaan:

Mitä on $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x)\,dx\,$?

Entä $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x-1)\,dx\,$?

Miten nämä integraalit oikein tulisi ymmärtää? Ja ovatko ne edes integraaleja? Lausuma 'niin vahvasti ääretön, että ...' ei kuulosta oikein vakuuttavalta eikä matematiikkaan sopivalta.

Fyysikot kuitenkin laskevat tällaisilla integraaleilla ja saavat ihan järkeviä tuloksia. Mistä tässä voisi olla kyse? Mitä matemaatikko sanoisi?  Jonkinlaiseksi vihjeeksi alussa oleva kuva.