Epäeuklidiset GeoGebra ja Napoleon

Mustat suorat eivät kohtaa punaista suoraa, ts. ovat sen suuntaisia.

Vanhassa geometrian kirjassani (Kallio, Malmio, Geometria I, Otava 1954) esitellään paralleeliaksiooma muodossa Suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta voidaan piirtää ainoastaan yksi sen suuntainen suora.  Tämän sanotaan olevan ns. euklidisen geometrian peruslauselmia, mutta sitä ei ole voitu todistaa. Sen jälkeen todetaan, että vastakohdaksi on kehitetty epäeuklidinen geometria, jossa lauselmaa ei käytetä ja monet paralleeliaksioomaan perustuvat väittämät saavat toisen muodon. Eikä sen enempää.

Muistan, että tämä teki hämmentävän vaikutelman. Usko paralleeliaksioomaan oli luja eikä tuntunut mitenkään järkevältä puhua mistään muunlaisesta tilanteesta. En tiedä, mitä nykyään koulussa sanotaan euklidisesta ja epäeuklidisesta geometriasta, mutta mahdollisuuksia konkretisointiin ainakin nykyään on paljon paremmin.

GeoGebra on hyvä ympäristö geometristen kuvioiden piirtelyyn ja geometristen totuuksien tutkimiseen.  On helppoa kokeilla, näyttäisikö jokin tulos olevan totta. Jos näyttää, voi lähteä etsimään todistusta.  Varsin lähellä on ajatus, että vastaavanlainen epäeuklidinen ympäristö voisi olla hyvinkin havainnollinen ja kiinnostava. Ajatuksen on maailmassa varmaankin sangen moni saanut ja epäeuklidisia ympäristöjä onkin tehty. Luultavasti paljonkin, mutta seuraavia kahta olen käyttänyt. Molemmissa on kyseessä hyperbolinen epäeuklidisen geometrian Poincarén malli:

GeoGebraan pohjautuva Poincare Disk for Hyperbolic Space, tekijänä Heather Pierce, https://www.geogebra.org/m/fUCCfAEj;

Javascript-pohjainen NonEuclid, tekijänä Joel Castellanos, https://www.cs.unm.edu/~joel/NonEuclid/NonEuclid.html.

Molemmat toimivat verkkoselaimessa, mutta myös omalle koneelle lataaminen on mahdollista.

Osoitteessa http://www.malinc.se/noneuclidean/en/index.php on Malin Christerssonin sivusto, jossa GeoGebraan pohjautuvan Poincarén mallin lisäksi on käsitelty mallin taustalla olevaa geometriaa ja GeoGebra-työkalujen muodostamista. Tiivistelmä aiheesta on Wikipedia-artikkelissa Hyperbolic Geometry, https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry. Tämä on selvästi laajempi kuin vastaava suomenkielinen.

Poincarén epäeuklidisen geometrian mallissa geometrista tasoa vastaa vain kiinteän ympyrän sisäpuoli, ts. geometrian pisteitä ovat tämän rajaympyrän sisäpuolen pisteet. Geometrian suoria ovat rajaympyrän sisäpuolella olevat ympyränkaaret, jotka kohtaavat rajaympyrän kohtisuorasti. Näiden erikoistapauksena ovat rajaympyrän halkaisijat, joita voi ajatella rajaympyrän keskipisteen kautta kulkevina ääretönsäteisinä ympyränkaarina. Tällä tavoin määritellyillä suorilla on suorien tyypillinen ominaisuus: kaksi pistettä määrää suoran yksikäsitteisesti. (Ks. alussa olevaa kuvaa.)

Malliin voidaan määritellä myös sen oma metriikka, ts. tapa laskea kahden pisteen välinen etäisyys. Lauseke ei ole aivan yksinkertainen, mutta sillä on luontevat etäisyyden ominaisuudet: lyhin kahden pisteen välinen etäisyys saavutetaan pisteiden määräämää suoraa (siis ympyränkaarta) pitkin; minkä tahansa pisteen etäisyys rajaympyrästä on äärettömän suuri. Etäisyyden määrittely mahdollistaa geometrian omien ympyröiden muodostamisen: tällaisen kehä muodostuu niistä pisteistä, joiden etäisyys keskipisteestä on vakio. Osoittautuu, että tällainen Poincarén mallin ympyrä on ympyrä myös tavanomaisessa mielessä.

Yksikkösäteisiä ympyröitä, joiden keskipisteet ovat samalla suoralla.

 Kun suoria ja ympyröitä voidaan muodostaa — ts. käytettävissä ovat epäeuklidisen geometrian viivoitin ja harppi — voidaan tehdä kaikki tavanomaisen geometrian konstruktiot. Tämän jälkeen voidaankin kysyä, mitkä tavanomaisen euklidisen geometrian tulokset ovat voimassa epäeuklidisessa geometriassa tai ainakin Poincarén mallissa. Jätän lukijan ihmeteltäväksi ja kokeiltavaksi.

Napoleonin lause ei päde, kuten vihreät ympyrät osoittavat.
(Vrt. http://matta.hut.fi/matta/geogebra/Napoleon.html.)

Lupasin kerran ohjata muutamaa lukiolaista, jotka halusivat tehdä projektityön epäeuklidisesta geometriasta. Ongelmaksi muodostui aihepiirin laajuus. Lukiolaiset etsivät kaikenlaisia asiaan liittyviä verkkodokumentteja suhteellisuusteoriaa myöten, ja näitähän löytyy paljon. Yritin rajata aihetta, mutta en onnistunut rajoittamaan heidän intoaan eikä työ sitten valmistunutkaan. Projektityöt ovat hyvä ajatus, mutta vaativat usein aika tiukkaa ohjausta. Intoa ei toisaalta tietenkään pitäisi kahlita.

Vierailin lukiossa

Poincarén malli: hyperbolinen epäeuklidinen geometria. Kahden pisteen määräämä suora ja kolme ulkopuolisen pisteen kautta kulkevaa suoraa, jotka ovat tämän suuntaisia.

Kävin paikallisessa lukiossa esitelmöimässä ykkös- ja kakkosluokkalaisille geometriasta.  Opettajat esittivät aiheeksi 'Mitä geometria on', mikä onkin pohtimisen arvoinen kysymys.

Geometrialla on pitkä historia, joka alkaa muinaisesta Egyptistä. Kreikkalaiset kuitenkin vasta tekivät geometriasta tiedettä ryhtymällä päättelemään asioita deduktiivisesti ja luomalla pohjaksi määritelmät, aksioomat tai postulaatit ja yleiset päättelysäännöt. Eukleides kiteytti esityksen tunnetussa teoksessaan Stoikheia, suomennettuna Alkeet.

Deduktiivisen geometrian aloitus siten kuin se suomalaisessa oppikoulussa opetettiin 1950-luvulla.

Minun käydessäni koulua 1950-luvulla tämä ehkä jollakin tavoin koululaiselle hahmottui.  Nykyopiskelijoista en ole oikein varma. Paralleeliaksiooman hylkäämisestä ja epäeuklidisen geometrian luonteesta minun geometrian kirjani kyllä mainitsi, mutta en koulussa koskaan ymmärtänyt, mistä oikein olisi kyse. Asia ei kuitenkaan ole kovin ihmeellinen, jos on valmis hyväksymään suoran käsitteelle hieman abstraktimman näkökulman runsaan sadan vuoden ikäisen Hilbertin aksiomatiikan mukaisesti.

Voiko tällaisista sitten puhua tämän päivän lukiolaisille? Mielestäni voi ja pitää puhua.  Kyseessä on olennainen vaihe siinä kehityksessä, joka on tehnyt matematiikasta niin abstraktia kuin se nykyään on. Esitystapaa on kuitenkin syytä harkita. Matemaatikko herkästi aloittaa täsmällisillä määritelmillä ja siirtyy sitten todistamaan lauseita.  Tämä johtaa tietenkin eksaktiin esitykseen, mutta lukiolaista jää vaivaamaan kysymys, mitä kaikki oikein tarkoittaa. Mihin se liittyy? Miksi tehdään sellaista kuin tehdään?

Eksaktisuudesta tinkimistä ei pitäisi pelätä, kunhan ei väitetä, että kyseessä olisi eksakti kaiken kattava esitys. Oikeiden mielikuvien synnyttäminen on tärkeää, täsmällisen päättelyn aika on joskus myöhemmin, jos lukiolainen päättää ryhtyä matemaatikoksi. Jos ei, niin yksityiskohtaisella päättelyllä ei ole väliäkään. Mutta sopiva kuva tai havainnollistus avaa usein näköaloja.

Tämä saattaa selittää, miksi matematiikka usein mielletään ikäväksi ja hyödyttömäksi.  On opittu ainakin muodollisesti täsmällistä päättelyä, perustehtävissä tarvittavaa laskutekniikkaa ja ylioppilaskokeessa tarvittavia esitystapoja, mutta matematiikan ajattelutapa ja sen kulttuurihistoriallinen kehitys ovat jääneet hämäriksi. Jos matemaattista päättelyä ja laskutekniikkaa ei ylioppilaskokeen jälkeisessä elämässä tarvitse, on aika luonnollista pitää matematiikkaa hyödyttömänä.

En tarkoita, ettei täsmällistä päättelyäkin pitäisi oppia, mutta näkökulman pitäisi kantaa sen yli. Tärkeä työkalu, mutta metsä pitää nähdä puilta. Ei historiaakaan opiskella vuosilukulistoina, mutta aikaskaalan hahmottamiseen vuosilukuja tarvitaan.

Mitä muuta sitten kerroin lukiolaisille? Jos kerran paralleeliaksioomasta voidaan tinkiä, voi aksioomia muutoinkin asetella eri tavoin ja luoda erilaisia geometrioita, vaikkapa äärellisiä tai projektiivisia. Aksioomia tai todistuksia en esittänyt, mutta kuvia kyllä: Fanon taso ja Pappoksen lause. Lopuksi vielä muutama sana algebran käytöstä geometriassa, joko ns. analyyttisen geometrian tai vektorigeometrian muodossa, ja analyysin, ts. differentiaali- ja integraalilaskennan tarjoamista mahdollisuuksista.

Äärellinen geometria, Fanon taso. Vain seitsemän pistettä ja vain seitsemän suoraa.

Ymmärsivätkö kuulijat? Eivät varmaankaan kaikkea, mutta mielikuva geometrian moninaisuudesta varmasti syntyi. Jos ennen luentoa kuvittelivat tietävänsä, mitä geometria on, niin tuskin enää luennon jälkeen. Hämmennys kuitenkin avaa näköaloja.

Poincarén konjektuuri

Henri Poincaré muotoili vuonna 1904 julkaistussa artikkelissaan ns. Poincarén konjektuurin (otaksuman). Hän ei onnistunut todistamaan tätä ja todistamattomana se pysyi satakunta vuotta, kunnes venäläinen Grigori Perelman esitti vuonna 2003 sille suurta huomiota herättäneen todistuksen. Kyseessä oli yksi Clay Mathematics Instituten ns. Millenium-probleemoista, joista jokaisen ratkaisusta oli luvassa miljoonan dollarin palkinto. Perelman ei ottanut palkintoa vastaan.

Poincarén konjektuuri esitetään yleensä seuraavassa muodossa: Jokainen kompakti yhdesti yhtenäinen kolmiulotteinen monisto on homeomorfinen kolmiulotteisen pallopinnan kanssa. Tämä sisältää käsitteitä, joiden sisältö ei ole niinkään selvää muille kuin alan spesialisteille. Jo kolmiulotteinen pallopinta on ongelmallinen: tavallisen kolmiulotteisessa avaruudessa sijaitsevan pallon pinta on kaksiulotteinen monisto. Kolmiulotteinen pallopinta on vastaavanlainen, mutta dimensiota ylempänä: tällaisen muodostavat esimerkiksi neliulotteisen avaruuden pisteet, joille pätee $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 1$.

Homeomorfinen puolestaan tarkoittaa topologista samanlaisuutta. Karkeistaen voidaan sanoa, että jos kaksi monistoa (kappaletta, pintaa tms.) voidaan muokata toisikseen venyttämällä, rypistämällä tai muulla vastaavalla tavalla, mutta ei repimällä, niin ne ovat homeomorfiset.

Seurauksena onkin, että monet Poincarén konjektuuria käsittelevät populaariartikkelit antavat epämääräisen tai peräti virheellisen kuvan siitä, mistä on kysymys. Mielestäni selkein (ja lyhin) yleistajuinen selitys Poincarén konjektuurista löytyy Clay-instituutin sivulta http://www.claymath.org/millennium/Poincare_Conjecture/.

En itsekään tunne Poincarén konjektuurin taustana olevaa algebrallista topologiaa kovinkaan hyvin. Tämän takia tartuin kiinnostuksella Terra Cognitan julkaisemaan suomenkieliseen kirjaan Poincarén konjektuuri, alaotsikkona Maailmankaikkeuden muotoa etsimässä. Tekijä on amerikkalainen Donal O'Shea, Mount Holyoke Collegen matematiikan professori. Syitä oli kaksi: halusin paremmin ymmärtää, mistä on kyse, ja toisekseen katsoa, miten vaikean asian popularisoinnissa on onnistuttu.

Yleisvaikutelma kirjasta oli ehdottomasti myönteinen. Historiallinen tausta tulee esiin, eihän matematiikka synny tyhjästä; Poincarén loikka eteenpäin oli kuitenkin melkoinen. Konjektuurin idean suhteen lähdetään liikkeelle aika yksinkertaisesti: Kaksi ympyrälevyä liitetään reunoistaan toisiinsa, jolloin syntyy pallo, kun levyjä sopivasti pullistetaan.  Levyistä siis ikään kuin muodostetaan pohjoinen ja eteläinen pallonpuolisko ja ne liitetään yhteen päiväntasaajaa pitkin. Ja sitten kysytään, mitä vastaava konstruktio antaisi yhtä dimensiota ylempänä: kaksi palloa sisuksineen, niiden pinnat liitetään yhteen tai pikemminkin samastetaan, havainnollinen mielikuva kun ei enää ole mahdollinen.

Vähitellen teksti kyllä vaikeutuu. Paikoin täytyi ryhtyä kertaamaan muinoin opiskeltua (mutta ei tentittyä) algebrallista topologiaa, nykymaailmassa vaivattomimmin netistä. Lukemisen helpottamiseksi kirjan lopussa on kaikkiaan 271 tarkempia tietoja sisältävää huomautusta, joihin varsinaisessa tekstissä vain viitataan. Tästä huolimatta teksti paikoin puuroutuu: vaikeasta asiasta yritetään sanoa lyhyesti paljon kuitenkaan täsmällisyydestä tinkimättä eikä lukija enää ymmärrä paljoakaan.

Käännös on yleisesti ottaen hyvä, mutta joissakin kohdissa täytyi miettiä, mitähän asia mahdollisesti on ollut englanniksi, jotta ideaan pääsi kiinni. Tällaisten kirjojen kääntäminen on vaativa tehtävä. Kääntäjän pitäisi ymmärtää asia, jotta lauserakenteet tulevat oikein. Vaarana ovat myös kaksitulkintaiset rakenteet: käännös sinänsä voi olla aivan oikein, mutta suomenkielisellä lauseella on toinenkin tulkinta, eikä lukijaparka tiedä kumpaa tarkoitetaan.

Matematiikkaa popularisoivien kirjojen kääntäminen on ehdottomasti kulttuuriteko ja voisikin toivoa, että kääntämiseen olisi käytettävissä enemmän resursseja. Lukiomatematiikan jälkeen Poincarén konjektuurista lukeminen avaa varmasti uusia näköaloja. Kyse on enemmän ajattelusta ja maailman mahdollisesta monimutkaisuudesta kuin mekaanisesta laskemisesta.