Vierailin lukiossa

Poincarén malli: hyperbolinen epäeuklidinen geometria. Kahden pisteen määräämä suora ja kolme ulkopuolisen pisteen kautta kulkevaa suoraa, jotka ovat tämän suuntaisia.

Kävin paikallisessa lukiossa esitelmöimässä ykkös- ja kakkosluokkalaisille geometriasta.  Opettajat esittivät aiheeksi 'Mitä geometria on', mikä onkin pohtimisen arvoinen kysymys.

Geometrialla on pitkä historia, joka alkaa muinaisesta Egyptistä. Kreikkalaiset kuitenkin vasta tekivät geometriasta tiedettä ryhtymällä päättelemään asioita deduktiivisesti ja luomalla pohjaksi määritelmät, aksioomat tai postulaatit ja yleiset päättelysäännöt. Eukleides kiteytti esityksen tunnetussa teoksessaan Stoikheia, suomennettuna Alkeet.

Deduktiivisen geometrian aloitus siten kuin se suomalaisessa oppikoulussa opetettiin 1950-luvulla.

Minun käydessäni koulua 1950-luvulla tämä ehkä jollakin tavoin koululaiselle hahmottui.  Nykyopiskelijoista en ole oikein varma. Paralleeliaksiooman hylkäämisestä ja epäeuklidisen geometrian luonteesta minun geometrian kirjani kyllä mainitsi, mutta en koulussa koskaan ymmärtänyt, mistä oikein olisi kyse. Asia ei kuitenkaan ole kovin ihmeellinen, jos on valmis hyväksymään suoran käsitteelle hieman abstraktimman näkökulman runsaan sadan vuoden ikäisen Hilbertin aksiomatiikan mukaisesti.

Voiko tällaisista sitten puhua tämän päivän lukiolaisille? Mielestäni voi ja pitää puhua.  Kyseessä on olennainen vaihe siinä kehityksessä, joka on tehnyt matematiikasta niin abstraktia kuin se nykyään on. Esitystapaa on kuitenkin syytä harkita. Matemaatikko herkästi aloittaa täsmällisillä määritelmillä ja siirtyy sitten todistamaan lauseita.  Tämä johtaa tietenkin eksaktiin esitykseen, mutta lukiolaista jää vaivaamaan kysymys, mitä kaikki oikein tarkoittaa. Mihin se liittyy? Miksi tehdään sellaista kuin tehdään?

Eksaktisuudesta tinkimistä ei pitäisi pelätä, kunhan ei väitetä, että kyseessä olisi eksakti kaiken kattava esitys. Oikeiden mielikuvien synnyttäminen on tärkeää, täsmällisen päättelyn aika on joskus myöhemmin, jos lukiolainen päättää ryhtyä matemaatikoksi. Jos ei, niin yksityiskohtaisella päättelyllä ei ole väliäkään. Mutta sopiva kuva tai havainnollistus avaa usein näköaloja.

Tämä saattaa selittää, miksi matematiikka usein mielletään ikäväksi ja hyödyttömäksi.  On opittu ainakin muodollisesti täsmällistä päättelyä, perustehtävissä tarvittavaa laskutekniikkaa ja ylioppilaskokeessa tarvittavia esitystapoja, mutta matematiikan ajattelutapa ja sen kulttuurihistoriallinen kehitys ovat jääneet hämäriksi. Jos matemaattista päättelyä ja laskutekniikkaa ei ylioppilaskokeen jälkeisessä elämässä tarvitse, on aika luonnollista pitää matematiikkaa hyödyttömänä.

En tarkoita, ettei täsmällistä päättelyäkin pitäisi oppia, mutta näkökulman pitäisi kantaa sen yli. Tärkeä työkalu, mutta metsä pitää nähdä puilta. Ei historiaakaan opiskella vuosilukulistoina, mutta aikaskaalan hahmottamiseen vuosilukuja tarvitaan.

Mitä muuta sitten kerroin lukiolaisille? Jos kerran paralleeliaksioomasta voidaan tinkiä, voi aksioomia muutoinkin asetella eri tavoin ja luoda erilaisia geometrioita, vaikkapa äärellisiä tai projektiivisia. Aksioomia tai todistuksia en esittänyt, mutta kuvia kyllä: Fanon taso ja Pappoksen lause. Lopuksi vielä muutama sana algebran käytöstä geometriassa, joko ns. analyyttisen geometrian tai vektorigeometrian muodossa, ja analyysin, ts. differentiaali- ja integraalilaskennan tarjoamista mahdollisuuksista.

Äärellinen geometria, Fanon taso. Vain seitsemän pistettä ja vain seitsemän suoraa.

Ymmärsivätkö kuulijat? Eivät varmaankaan kaikkea, mutta mielikuva geometrian moninaisuudesta varmasti syntyi. Jos ennen luentoa kuvittelivat tietävänsä, mitä geometria on, niin tuskin enää luennon jälkeen. Hämmennys kuitenkin avaa näköaloja.