 |
| Kaappaus YouTube-videosta (Päivi Portaankorva-Koivisto ja Sirpa Wass) |
Kaltaiseni urallaan yliopistotason matematiikan kursseja opettanut henkilö tietää ehkä pääpiirteittäin, mitä lukion matematiikka sisältää ja mitkä ovat sen näkökulmat. Peruskoulu sen sijaan on usein jäänyt vähemmälle huomiolle. Omien lasten peruskouluvuosistakin on jo aikaa. Tietoisuudessa on lähinnä taakse jäänyt joukko-oppi ja viime aikoina esitetyt väitteet, että peruskoulussa ei enää luoda tukevaa matemaattista pohjaa.
Muutaman kerran olen selannut digitaalisia oppimateriaaleja ja hiljattain osuin katsomaan Päivi Portaankorva-Koiviston ja Sirpa Wassin YouTube-videoita algebran peruskäsitteiden havainnollistamisesta. En tiedä, onko nämä tarkoitettu peruskoulun tunneilla käytettäviksi vai ovatko ne opettajakoulutuksen materiaalia, mutta aika erikoisen näkökulman ne minusta algebraan antavat. Jos algebraan todella lähdetään näin, niin en ihmettele, jos asia koululaiselle jää hämäräksi.
Lähtökohta on hyvä: kirjaimet tarkoittavat lukuja, joita ainakaan siinä vaiheessa ei tarkemmin tunneta tai haluta täsmentää. Sitten kerrotaan, että termi on olio, jossa on etumerkki, kerroin ja kirjainosa. Tämä kuitenkin johtaa väärään mielikuvaan. Oleellista on, että termit ovat lausekkeita, joita lasketaan yhteen, mutta tämä jää sanomatta. Termien muoto voi olla mutkikkaampikin, vaikkapa lausekkeessa $abc + 1/x + (x+y)^3$ on kolme termiä. Toki tällaisia lausekkeita ei aivan heti aleta käsitellä, mutta periaatteessa esimerkki on ymmärrettävissä ja johtaa oikeaan mielikuvaan lausekkeesta ja termistä.
En oikein ymmärrä tapaa, jolla lausekkeiden yhteenlaskussa päädytään yhdistämään ns. samanmuotoiset termit. Esimerkissä (kuva ylhäällä) on kaksi joukkoviivaa (!), toisen sisällä kolme neliötä ja neljä ympyrää, toisen sisällä yksi neliö ja kaksi ympyrää. Näitä kuvataan lausekkeella $(4y+3n) + (2y+1n)$. Mitä tämä sitten on? Kirjaintenhan piti tarkoittaa lukuja eikä geometrisia olioita. Laskemalla kaikki neliöt ja kaikki ympyrät saadaan neljä neliötä ja kuusi ympyrää, siis $4n + 6y$. Tässä on siis kertoimet laskettu yhteen aina kun kirjainosat ovat samat. Mutta miten tämä sääntö sopii tilanteeseen, jossa $y$ ja $n$ ovatkin lukuja? Onko niin, että oppilaan pitää vain uskoa ja muistaa sääntö, mutta ei miettiä sen yhteyttä lukuihin?
Katsoin, miten asia on esitetty yli puoli vuosisataa vanhassa K. Väisälän Algebran oppi- ja esimerkkikirjassa. Täälläkin kirjaimet tarkoittavat lukuja. Lausekkeen käsite on selitetty sanoin, mukana useita esimerkkejä, yhtenä \[\dfrac{7x-4}{xy}.\] Sama koskee termin käsitettä ja termien samanmuotoisuutta. Esimerkiksi kuuden termin lauseke \[rx - 3sx-1+2sx+2r+2\] voidaan samanmuotoiset termit yhdistämällä saataa kahteen eri muotoon riippuen siitä, mitä pidetään kirjainosana ja mitä kertoimena: \[rx - sx + 2r + 1 = (r-s)x + (2r+1).\] Edellisessä on neljä termiä, jälkimmäisessä kaksi. Sivutuotteena tulee ymmärrys siitä, että sieventämisen tulos ei ole yksikäsitteinen, vaan riippuu sieventämisen tavoitteesta.
Samanmuotoisten termien yhdistämisen Väisälä perustelee osittelulailla: $a(b+c) = ab + ac$ tai toisin kirjoitettuna $ba + ca = (b+c)a$. Tällöin siis esimerkiksi $5x + 4x = (5+4)x = 9x$. Tämä luonnollisesti edellyttää, että osittelulaki tunnetaan aikaisemmasta. En tiedä, opetetaanko se nykyään ennen kirjainlaskennan aloittamista. Minusta pitäisi. Millään tavoin mahdotontahan se ei ole. Tilanne on esimerkki matematiikan opiskelun kumulatiivisuudesta: uudet asiat rakentuvat aikaisemmin opitun päälle. Jos tästä logiikasta ei pidetä kiinni, matematiikan opiskelu muuttuu irrallisen silpputiedon opetteluksi vailla ymmärrystä. (On kyllä myönnettävä, että aikoinani pidin laskulakien opettelua aritmetiikan yhteydessä tylsänä ja tarpeettomana, vaikka niillä oli käyttöä päässälaskussakin. Algebra kyllä sitten näytti niiden merkityksen ja muutin mieleni.)
Osittelulakiin vetoaminen painottaa myös usein väärin ymmärretyn yhtäläisyysmerkin merkitystä. Kyse on nimenomaan yhtäsuuruudesta, ei siitä, että vasemmasta puolesta 'tulee' oikea puoli. Osittelulaki toimii molemmin päin: se on joko menettely sulkujen poistamiseen (lausekkeen 'kehittämiseen', englanniksi expand) tai yhteisen tekijän ottamiseen.
On tietenkin totta, että matematiikassa käytetään kirjainsymboleja muutoinkin kuin viittaamassa lukuihin. Näin käy jo lukiossakin puhumattakaan yliopistollisesta abstraktin algebran kurssista. Hyppy aritmetiikasta peruskoulualgebraan on ensimmäinen askel abstraktiotason lisäämisen tiellä, eikä siitä minusta pidä tehdä tarpeettoman vaikeata. Edellä mainittu ympyrä-neliö-malli tuskin auttaa vektoreiden yhteenlaskun ymmärtämisessä, vaikka asiat hallitseva ehkä näkeekin ympyrät ja neliöt lineaarisesti riippumattomiksi.
Kuten sanottu, en ole erityisen hyvin perehtynyt peruskoulun oppimateriaaleihin. Olen kuitenkin tavannut edellä kritisoimani opetustavat joissakin muissakin materiaaleissa. Kuinka yleisiä ne ovat, en osaa sanoa. Mieleen hiipii epäily, että johtuisiko matemaattisen osaamisen rapautuminen tavasta, jolla asioita opetetaan. (Ehkä syytä todeta, että tässä yhteydessä ei niinkään ole kyse sellaisesta osaamisesta, jota PISA-tutkimuksissa on testattu, vaan pohjasta myöhemmille matematiikan opinnoille.)
Selasin kiinnostuksella Väisälän kirjaa. Sillä on ikää eikä se varmasti olisi ihanneoppikirja tämän päivän maailmassa. Mutta kirjasta näkee, että Väisälä on tarkoin miettinyt, miten asiat kannattaa ymmärrettävästi ja johdonmukaisesti esittää. Väisälä myös selvisi kolmen luokan algebraosuudesta harjoitustehtävineen 150 sivulla. Voisin Väisälää suositella oppimateriaalintekijöiden oheislukemistoksi.
 |
| Väisälän esitys samanmuotoisten termien yhdistämisestä |
8 kommenttia:
Täällä entinen matematiikan opettaja.
"Jos algebraan todella lähdetään näin, niin en ihmettele, jos asia koululaiselle jää hämäräksi."
Algebraan todella lähdetään näin. Se, että asiat jäävät monelle hämäräksi, johtuu vain osittain opetustavasta. Olen nimittäin aika varma, että monelle oppilaalle nämä asiat ovat liian abstrakteja ja hämäräksi jääviä riippumatta siitä, miten asiat opetetaan. Sitkeä opiskelu ja pitkäjänteisyys auttaisivat asiaaa, mutta niitä ei juuri ole.
"En tiedä, opetetaanko se [osittelulaki] nykyään ennen kirjainlaskennan aloittamista."
Opetuskokemusta ehti karttua aika vähän, mutta luulen, että ei opeteta. Ja vaikka opetettaisiinkin, moni ei osaisi sitä uudessa tilanteessa kuitenkaan soveltaa, kun sitä ei ole aiemminkaan kunnolla ymmärretty.
"Voisin Väisälää suositella oppimateriaalintekijöiden oheislukemistoksi."
Itse ihailen vanhoja oppikirjoja. Ei turhaa sälää, ei turhia kuvia, pelkkää asiaa. Minua itseänikin kiinnostaisi pohtia esim. sitä, missä järjestyksessä asiat pitää opettaa, jotta ne rakentuvat johdonmukaisesti. Valitettavasti peruskoulun arki on jotain ihan muuta; ei siinä maailmassa näillä kysymyksillä kovin suurta relevanssia ole. Juuri siksi olenkin entinen opettaja.
"Se, että asiat jäävät monelle hämäräksi, johtuu vain osittain opetustavasta." ... "Sitkeä opiskelu ja pitkäjänteisyys auttaisivat asiaaa, mutta niitä ei juuri ole."
Varmaan näin. Silti olisi helpompaa edellyttää pitkäjänteisyyttä, jos punainen lanka olisi olemassa.
Osittelulaista: "luulen, että ei [aiemmin] opeteta. Ja vaikka opetettaisiinkin, moni ei osaisi sitä uudessa tilanteessa kuitenkaan soveltaa"
Uudessa tilanteessa se olisi varmasti syytä kerrata. Eikös tätä sanota spiraaliperiaatteeksi?
"Juuri siksi olenkin entinen opettaja."
Kouluparka.
Punaisen langan olemassaolo olisi kyllä ihan suotavaa. Spiraaliperiaate voisi toimiakin, jos asiaa opetettaessa osaamista voisi ihan oikeasti vaatia, niin että asiaa kerrattaessa pelkkä kertaus riittää (eikä asiaa tarvitse taas opettaa alusta alkaen uudestaan). Valitettavasti näin ei ole. Osaamista voi sanoa vaativansa, mutta loppujen lopuksi kaikki päästetään läpi kuitenkin, ehkä muutamaa poikkeusta lukuun ottamatta. Ja muutenkin kaikki olisi helpompaa, jos voisi olettaa, että kaikilla oppilailla on kirjat, vihkot ja muistiinpanovälineet mukana, tunneilla ei häiriköidä, koulusta ei lintsata, läksyt tehdään ja niin edelleen.
Joka tapauksessa tahdon kiittää blogistia tämän blogin ylläpitämisestä ja muutenkin matematiikasta kirjoittamisesta. Erityiskiitos Vaellusretkiä matematiikkaan -kirjasta. Tällaista kirjallisuutta ei ole suomeksi liikaa. Ja tosiaan tämäkin kirjoitus sisältää ihan mielenkiintoista pohdintaa. Itse en enää muista, miten nämä asiat minulle peruskoulussa opetettiin (90-luvun lopulla), mutta pitäisi kai jossain vaiheessa tutustua tuohon Väisälän kirjaan tarkemmin.
Kuuden vuoden luvuilla laskemisen jälkeen on aika nousta abstraktion tasolla askel eteenpäin ja ottaa laskulait käyttöön aksioomina, vaikka tätä sanaa ei koulussa käytetä. Siis oletetaan, että luvut noudattavat esim. seuraavaa: a(b+c)=ab+ac, ab=ba ja (a+b)+c=a+(b+c). Tätä ennen on käsitelty negatiiviset luvut ja itseisarvo. Lisäksi opetellaan laventaminen ja supistaminen kirjaimilla sekä rationaalilausekkeiden laskusäännöt. Tällä arsenaalilla ei lasketa sivukaupalla tyyppiä 2x(x+2) olevia tehtäviä, vaan keskitytään rakenteellisempiin asioihin: (a+b)^2=?, (a+b+c)^2=?, (a+b)(a-b)=?, (a-b)^2, (a+b)^3, jne., päädytään kokeellisesti Pascalin kolmioon yms. Niille, jotka eivät halua tai kykene tällaisia asioita oppimaan on mahdollista laatia henkilökohtaisia opseja ja antaa erityisopetusta. Tämä opetuksen juoni todellakin on kirkkaana Väisälän Algebra 1:ssä. Sitä kannattaa tutkia.
Yksi reunahuomautus Markku Halmetojalle: En peruskoulutasolla *olettaisi*, että luvut noudattavat laskulakeja. Kyseessä on *havainto*, joka tulee olla tehty opeteltaessa laskemaan konkreettisilla luvuilla. Kun sitten algebrassa kirjaimet tarkoittavat lukuja, on luonnollista, että niillä on samat laskulait. Aksiooman luonteinen oletus on matemaatikon formalisointi asialle, joka peruskoululaiselle on havainto.
Muutoin samaa mieltä. Minua joskus ihmetyttää, millä perusteilla on kuljettu tie Väisälästä nykyisiin oppimateriaaleihin.
Tarkoitin samaa mitä sanoit reunahuomautuksessasi, mutta muotoilin asian huonosti. Mukava kattaus siitä, mitä Väisälän aikaan osattiin 15-vuotiaina, löytyy eukleides.fi sivustolla olevasta avoimesta kirjeestä. Jos nykyisten ikäluokkien viidennes ei kykenisi samaan, olemme todistamassa suomalaisten ennennäkemättömän nopeaa älyllistä taantumista.
Markku Halmetoja tarkoittanee osoitetta eukleideskirjat.fi – eukleides.fi ei vie mihinkään. Olen kyseisen avoimen kirjeen lukenut ja luin nyt uudestaan. Mielestäni se on ihan asiaa.
"Jos nykyisten ikäluokkien viidennes ei kykenisi samaan, olemme todistamassa suomalaisten ennennäkemättömän nopeaa älyllistä taantumista." Näppituntumani on, että kyllä osa nykyoppilaista varmaankin pystyisi samaan, mutta tämä vaatisi suuria muutoksia. Kyynisesti voisin sanoa, että peruskoulun – tuon suuren suomalaisen Pisa-ihmeen – pitäisi olla taas koulu ja lakata olemasta päivähoitolaitos. Vähemmän kyynisesti sanoisin, että ensinnäkin kouluihin pitäisi palauttaa työrauha. Olin valmistumisen jälkeen opettajana eri pätkissä yhteensä n. kaksi vuotta ja viimeisimmän pätkän jälkeen ajattelin, että nyt riittää. En jaksa enkä osaa olla psykiatri, terapeutti enkä järjestyksenvalvoja. Toisekseen jonkinlainen tasokurssijärjestelmä pitäisi olla, käytettiinpä siitä sitten mitä nimeä hyvänsä. Tästähän myös avoimessa kirjeessä mainitaan.
Olen kuitenkin pessimisti enkä usko, että asiat menevät parempaan suuntaan. Toivottavasti olen väärässä. Nykyisellään kaltaistani matematiikasta kiinnostunutta opettajaa ei peruskoulussa tarvita. Jos nyt joku ajattelee, että olen huumorintajuton fakki-idiootti tai vuorovaikutuskyvytön nörtti, sanottakoon, että olen saanut aivan toisenlaista palautetta. Silti en pidemmän päälle jaksanut opettajana. En myöskään ole ainut esimerkki tästä ilmiöstä.
Smougelle: Lukiossa voi vielä yrittää opettaa matematiikkaa. Kiitos nettiosoitteen oikaisusta.
Lähetä kommentti