Chambordin linnan portaikko

Chambordin linna (Wikipedia, Benh LIEU SONG, 2012, CC BY-SA 3.0)

Ranskan kuningas Frans I rakennutti 1500-luvulla Chambordin linnan Loire-joen laaksoon (Wikipedia-artikkeli ranskaksi, englanniksi). Linnan pääportaikko perustunee Leonardo da Vincin ideaan ja siinä voi samanaikaisesti toinen henkilö nousta ylöspäin, toinen laskeutua alaspäin, ilman että he kohtaavat tai edes ovat välttämättä tietoisia toisistaan.

Millainen portaikon rakenne voi olla?

Kyseessä on kierreportaikko, jolloin rakenne perustuu ruuviviivaan: \begin{align*} x &= a\cos(t), \\ y &= a\sin(t), \\ z &= bt, \end{align*} vektorimuodossa $p = (a\cos(t), a\sin(t), bt)$. Tässä $t$ on parametri, jonka jokaista arvoa kohden saadaan yksi ruuviviivan piste. xy-tason pisteet $(a\cos(t), a\sin(t))$ sijaitsevat origokeskisellä $a$-säteisellä ympyrällä, jolloin ruuviviiva sijaitsee tämän ympyrän yläpuolella ja z-koordinaatti määrää pisteen korkeuden. Vakio $b$ ($> 0$) on ruuviviivan nousu, ts. siitä riippuu, miten nopeasti viiva nousee $t$:n kasvaessa. Parametri $t$ ilmaistaan radiaaneissa, jolloin $2\pi$:n suuruinen kasvu tarkoittaa yhtä kierrosta.

Ruuviviiva; kaksi kierrosta

Ruuviviivan akseli on z-akseli. Sijoitetaan tälle piste, joka on samalla korkeudella kuin parametriarvoa $t$ vastaava ruuviviivan piste: $q = (0,0,bt)$.

Pisteiden $p$ ja $q$ kautta kulkevan suoran parametriesitys on $r = q + u(p - q)$, missä $u$ on parametri. Tämä voidaan kirjoittaa usein mukavampaan muotoon $r = up + (1-u)q$. Jos $0 < u < 1$, piste $r$ on pisteiden $p$ ja $q$ välissä.

Kun pisteiden $p$ ja $q$ lausekkeet pannaan paikoilleen, saadaan \[ r = u(a\cos(t), a\sin(t), bt) + (1-u)(0,0,bt), \] minkä voi halutessaan sieventääkin: $r = (ua\cos(t), ua\sin(t), bt)$. Tässä on kaksi parametria, $t$ ja $u$. Piste $r$ sijaitsee parametrin $t$ määräämällä suoralla parametrin $u$ määräämässä kohdassa. Yhdessä pisteet $r$ muodostavat pinnan, jonka parametriesitys $r$:n lauseke on. Pintaa kutsutaan ruuvipinnaksi.

Ruuvipinta; kaksi kierrosta, $-2 \le u \le 2$

Lisäämällä parametrivälejä $0 \le t \le 4\pi$ ja $0 \le u \le 1$ vastaavaan ruuvipintaan askelmat, saadaan monissa linnojen torneissa käytetty jyrkkä ja hankala portaikko.

Ruuvipinnan muodostama jyrkkä portaikko

Ruuvipinnasta voidaan kuitenkin leikata myös kaksi erillistä kaistaletta valitsemalla $1 \le u \le 3$ ja  $-3 \le u \le -1$. Varustamalla nämä askelmilla saadaan kaksoisportaikko, jossa on kaksi samaan suuntaan kiertyvää nousua. Toinen saadaan toisesta kiertämällä akselin ympäri 180 astetta. Chambordin portaikko on tällainen. Jos keskelle vielä asetetaan ikkunaton tukipylväs, portaita pitkin eri puolilla liikkuvat henkilöt eivät havaitse toisiaan.

Ruuvipintojen muodostama kaksoisportaikko

YouTubesta löytyy havainnollistus, joka osoittaa, että portaikossa todella voi kulkea eri suuntiin toisiaan kohtaamatta.