Elliptinen sohvapöytä

Tarinoitiin ystävien kanssa sohvapöydän ympärillä. Heräsi kysymys, onko soikea sohvapöytä ellipsin muotoinen vai ylipäätään vain jokin soikio. Miten asian voisi helpoimmin selvittää? Kamera on nykyään jokaisella mukana, joten otettiin pöytälevystä pari kuvaa, molemmat vinossa asennossa, ja päätettiin analysoida ne myöhemmin.

 

Kamera muodostaa kuvia — perspektiivikuvia — keskusprojektion periaatteella. Keskusprojektio puolestaan kuvaa kartioleikkauksen — ellipsin, paraabelin tai hyperbelin — kartioleikkaukseksi. Tyyppi ei välttämättä säily, esimerkiksi ellipsi voi myös kuvautua paraabelin tai hyperbelin kaareksi. Sohvapöydän kuvissa oli kuitenkin ilmeistä, että jos muoto on ellipsi, niin sen kuvakin on ellipsi. Myös käänteinen pätee: jos kuva on ellipsi, niin pöytäkin on ellipsin muotoinen. Eikä kuvan tällöin tarvitse olla otettu kohtisuoraan pöydän pintaa vastaan.

Riittää siis analysoida pöydästä otetut valokuvat. Tätä varten kuva voidaan siirtää GeoGebran piirtoalustalle, jolloin sen päälle on mahdollista tehdä geometrisia konstruktioita. Kartioleikkauksen — toisen asteen käyrän — yhtälö xy-tasossa on periaatteessa muotoa \[ax^2 + by^2 + 2cxy + 2dx + 2ey + f = 0,\] missä on kuusi kerrointa $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ ja $f$. Yhtälön määräämiseen riittää tuntea viisi pistettä kartioleikkaukselta. Tällöin kertoimiin jää yksi vapausaste, mutta näin tulee ollakin, sillä kartioleikkaus ei muutu, jos yhtälö kerrotaan nollasta eroavalla vakiolla. GeoGebrassa on työkalu, joka määrittää kartioleikkauksen yhtälön ja piirtää käyrän, kun annetaan viisi pistettä.

Valittiin siis valokuvassa viisi pistettä pöydän reunalta ja muodostettiin reunakäyrä kartioleikkauksena. Tämä osoittautui ellipsiksi, joka hyvin suurella tarkkuudella yhtyy pöydän reunaan. Alla on konstruktio tehtynä kumpaankin kuvaan. Pöytälevy on siis ilmeisesti tehty nimenomaan ellipsin muotoon. Myöhemmin ilmeni, että pöydän suunnittelija on Ilmari Tapiovaara (Ovalette,1954).

GeoGebrassa on myös työkalu, jolla voidaan määrittää annetun ellipsin polttopisteet. Nämä ovat nähtävissä kummassakin kuvassa (punaiset pisteet $F_1$ ja $F_2$). Pöytälevyyn nähden ne näyttävät kuvissa olevan eri paikoissa. Vaikkakin keskusprojektiossa kartioleikkaus kuvautuu kartioleikkaukseksi, polttopisteet eivät kuvaudu polttopisteiksi. Jos siis haluaa kairata pöytäänsä reiät kynttiläjaloiksi polttopisteiden kohdalle, paikkoja ei voi määrittää valokuvan perusteella. Vastaava koskee ellipsin tunnettua ominaisuutta: kehäpisteen yhteenlaskettu etäisyys polttopisteistä on vakio. Ominaisuus on jokaisella ellipsillä, mutta vakio ei ole eri kuvissa sama, vaikka skaalauskin otettaisiin huomioon.