Planigrafi

Kostean helteisenä päivänä ryhdyin mahdollisimman vähän fyysistä ponnistelua vaativaan puuhaan: raivaamaan vuosien varrella kertyneitä Mathematica-tiedostoja. Joukossa oli muun ohella planigrafin ominaisuuksia selvittelevä tiedosto.

Mikäkö on planigrafi, tarkemmin sanottuna Darboux´n – Koenigsin planigrafi? Kyseessä on mekanismi, jota on tutkittu ns. kinemaattisessa geometriassa. Geometriahan on sikäli monipuolinen tiede, että eteen voidaan asettaa melkoinen määrä erilaisia attribuutteja.

Planigrafissa on pystyakseli, jolla on kolme kiinteää pistettä ($A_1$, $B_1$, $C_1$). Jokaisessa pisteessä on vapaasti liikkuva pallonivel ja niihin on kiinnitetty kolme eripituista tankoa, voivat toki olla yhtä pitkiäkin. Näiden toiset päät on kiinnitetty palloniveliin, jotka sijaitsevat kiinteästi omalla tangollaan ($A$, $B$, $C$). Pisteet $A$, $B$ ja $C$ sijaitsevat tällöin $A_1$-, $B_1$- ja $C_1$-keskisillä pallokuorilla. Rakenne ei kiinnitä $ABC$-tangon asemaa, vaan se pääsee jossain määrin liikkumaan. Ongelmana on, millaisella pinnalla tangolla oleva piste $P$ tällöin liikkuu.

Oheinen kuvio on peräisin vuonna 1911 Leipzigissa ilmestyneestä Martin Schillingin myyntiluettelosta. Yritys myi runsaat sata vuotta sitten geometrisia matemaattisia malleja moniin yliopistoihin. Tällaisia hankittiin myös Teknilliseen korkeakouluun, Aalto-yliopiston edeltäjään.  Kokoelma on nähtävänä matematiikan laitoksella, planigrafi on malli numero 91 (http://math.aalto.fi/models/).

Millaisella pinnalla piste $P$ sitten liikkuu? Yleensä kyseessä on pallopinta, jonka keskipiste on akselisuoralla. Yksi pisteen $P$ asema on poikkeuksellinen: piste liikkuukin tasossa, joka on kohtisuorassa akselia vastaan. Tämä ei ole kovin yllättävää: taso voidaan ajatella pallopinnaksi, jonka keskipiste on äärettömän kaukana.

Miten tuloksen voisi todistaa? Puhtaasti geometrinen todistus löytyy kirjasta E. J. Nyström, Korkeamman geometrian alkeet sovellutuksineen, Otavan Tiedekirjasto n:o 6, 1948. Harvan nykymatemaatikon geometrian taidot kuitenkaan riittävät todistuksen sujuvaan lukemiseen.

Järjestäessäni mainittua matematiikan mallikokoelmaa joitakin vuosia sitten jäin miettimään, onnistuisiko planigrafia koskevan tuloksen todistaminen analyyttista geometriaa käyttäen, toisin sanoen raa'alla laskemisella. Käsin laskentaa tuskin jaksaisi tehdä, sen verran monimutkaisista lausekkeista on kyse. Koska ne kuitenkin ovat enintään toista astetta olevia polynomeja, symboliset laskentaohjelmat ovat vahvoilla. Onnistui; katso http://www.elisanet.fi/simo.kivela/blg/planigrafi.pdf.

Pisteen $P$ mahdolliset sijainnit eivät toki peitä koko tasoa (tai pallokuorta). Jatkokysymys voisi ollakin, mikä on se alue, jossa piste $P$ voi sijaita. Jätän lukijan pohdittavaksi. Eksaktia tapaa laskea asia en ole löytänyt, mutta symboliset ohjelmat suovat myös mahdollisuuden kokeellisen matematiikan harjoittamiseen ja tällä tavoin kyllä näkee, mikä ilmeisesti on vastaus.