Miltä $\pi$ kuulostaa?

 Blogijutussani Irrationaalikävelyllä  tarkastelin luvun $\pi$ desimaalien mukaan eri suuntiin eteneviä askelia ja näistä muodostuvaa polkua. Luvun irrationaalisuus näkyy polun ennakoimattomuutena.
Olisiko muita tapoja havainnollistaa piitä tai ainakin leikitellä sillä? Mitä saadaan, jos esimerkiksi asetetaan desimaalit vastaamaan tiettyjä sävelkorkeuksia? Ja miten helposti tällaisia kokeiluja pääsee tekemään.

Olen kokeiluissani yleensä käyttänyt laskentaohjelma Mathematicaa, johon on versio versiolta kertynyt jatkuvasti lisää kaikenlaisia, usein hieman sekavia ja kokeellisia ominaisuuksia. Esimerkiksi 12-sävelasteikon sävelet yksiviivaisesta c:stä alkaen saadaan muutamalla komennolla ja tulos voidaan tallentaa äänitiedostona:

Piin esitykseen päästäänkin tämän jälkeen varsin vähällä:

Ajatus piin esittämisestä äänitiedostona ei toki ole uusi. Piin desimaalit ovat lukujono A000796 kokonaislukujonojen ensyklopediassa (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) ja täällä on myös mahdollista kuunnella pii jopa useana erilaisena esityksenä.

Vähän yksitoikkoiselta pii toki kuulostaa. Mathematican kokeelliset piirteet antavat mahdollisuuden muuhunkin. Sävelet voidaan määritellä myös suoraan nuotteina, niiden kesto voidaan määritellä erikseen ja jopa soitinkin voidaan valita. Viimeksi mainittu on kyllä musta laatikko: missään ei käsittääkseni ole dokumentoituna, miten eri soitinten äänet on muodostettu. Pii voidaan tietenkin esittää muutoinkin kuin 10-kantaisena ja esityksen numerot sitoa sävelkorkeuksiin miten halutaan. En esittele tarvittavia komentoja, niissä tuskin on mitään yleispätevää kiinnostavuutta.

Ensimmäisenä esimerkkinä on 10-kantainen pii 12-asteikossa uruilla soitettuna, sävelten kestot Neperin luvun 10-kantaisesta esityksestä. Tästä voi piirtää kuvankin, eräänlaiset nuotit nämäkin:

Toisena esimerkkinä on 'kolmisointu-pii', ts. pii esitettynä 3-kantaisena, tämän numerot sidottuina säveliin c, e, ja g, kestot Neperin luvun 3-kantaisesta esityksestä, soittimena edelleen urut.

Monilla matemaattisilla ongelmilla on käänteiset ongelmansa. Niin tässäkin. Edellä kuvatulla tavalla voidaan muuntaa luku musiikiksi, tai siis ainakin ääneksi, mutta entä musiikin muuntaminen luvuksi? Sitäkin voi kokeilla:

Olkoon \begin{align*} a &= \frac{2819342985735813859733523604893034305465368787123665428766810701824}{1730765619511609209510165443073365}, \\[5pt] b &= \frac{2934443644746840392851674865259212716387069853696}{4238682002231055}. \end{align*} Tällöin komennot

tuottavat joulunaikaan sopivan äänitiedoston. (Miksi heksadesimaalikanta? Jotta 12-järjestelmässä saadaan esitetyksi tarvittava ääniala ...)

Lopuksi toivotan kaikille lukijoille riemullista joulujuhlaa.