Yhtälön $2^{\sin(x)^2} + 2^{\cos(x)^2} = 3$ ratkaisemisesta

Koulutason matematiikan opinnoissa yhtälöiden ratkaisemisen merkitys on ollut lähinnä sujuvan lausekkeiden käsittelyn synnyttämisessä. Nykyään kuitenkin ratkaiseminen usein onnistuu jopa yhdellä laskentaohjelman komennolla. Mihin opetuksessa silloin tulisi keskittyä? Edelleen lausekkeiden manipulointiin vai ohjelmistojen komentoihin tai johonkin muuhun?

Otsikon yhtälö on peräisin venäläisestä A. N. Kolmogorovin tekemäksi nimetystä oppikirjasta Алгебра и начало Математического анализа 10-11 класс (algebra ja matemaattisen analyysin alkeet, sivu 299).  Maineikas matemaatikko A. N. Kolmogorov kuoli vuonna 1987, joten hänellä ei ilmeisestikään ole osuutta kirjan nykyisen painoksen laatimiseen, mutta alkuperäinen teksti lienee häneltä.

Kirja sisältää melkoisen määrän käsin laskettaviksi tarkoitettuja harjoitustehtäviä, ja onkin ilmeistä, että tavoitteena on sujuvuuden saavuttaminen mekaanisessa laskemisessa ja lausekkeiden käsittelyssä.  Kokonaisuutena harjoitustehtävät antavat jopa hieman tylsän vaikutelman. Tietotekniikan rooli ei näy eikä se kirjan iästä johtuen voisikaan. Pohtimisen aihetta tehtävien tarkastelu kuitenkin antaa.

Esillä olevan yhtälön käsin ratkaiseminen on suhteellisen helposti tehtävissä, jos on kykyä muokata lausekkeita ja tämän seurauksena taito nähdä erilaisia mahdollisuuksia. Ottamalla uudeksi tuntemattomaksi $t = 2^{\sin(x)^2}$ yhtälö pelkistyy toisen asteen yhtälöksi $t^2 - 3t +2 = 0$, jonka juuret ovat $t_1 = 1$ ja $t_2 = 2$. Tällöin tulee olla $\sin(x)^2 = 0$ tai $\sin(x)^2 = 1$ ja ratkaisuksi saadaan $x = n\pi/2$, missä $n$ on kokonaisluku.

Miten laskentaohjelmat sitten suoriutuvat? GeoGebra löytää tuloksen vaivatta. Mathematica ei suoriudu yhtä vaivatta, mutta antaa toisaalta enemmän ajattelemisen aihetta ja lisää ratkaisuja. Tästä seuraavassa tarkemmin. Jos lukija kokeilee muita ohjelmia, kuulen asiasta mielelläni.

Ensimmäinen yritys Mathematicalla epäonnistuu. Grafiikka kuitenkin osoittaa, että yhtälöllä on juuri sellaiset ratkaisut kuin käsin laskussa todettiin:

Lisäämällä komentoon vaatimus ratkaisujen reaalisuudesta päästään haluttuun tulokseen:

Tämä antaa kuitenkin aiheen epäillä, että yhtälössä on jotakin kompleksisuuteen liittyvää, joka on Mathematicalle vaikeata. Helpotetaan tilannetta muokkaamalla yhtälö uuteen muotoon, ts. lausutaan trigonometriset funktiot eksponenttifunktion avulla, ja tällöin saadaankin ratkaisu:

Tulos on kuitenkin yllättävän monimutkainen. Näyttää siltä, että yhtälöllä on kompleksisia ratkaisuja ja näiden löytämiseen eivät Mathematican rutiinit riitä ilman lisäohjausta. Tämä ei ole kovin yllättävää: lausekkeiden muokkaus ei aina ole yksinkertaista ja täydellistä algoritmia tuskin on. Käyttäjän näkemys ja ohjaus saattaa olla tarpeen. Reaalinen ratkaisu tästä löytyy sijoittamalla vakiolle $C_2$ arvo nolla, mutta myös kompleksisia ratkaisuja on, alla joitakin likiarvoina:

Näiden sijoittaminen yhtälöön näyttää todellakin toteuttavan sen:

Grafiikka antaa mahdollisuuden pidemmälle meneviin tutkimuksiin. Jos yhtälöön sijoitetaan $x$:n paikalle $x + iy$ ja tuloksesta erotellaan reaali- ja imaginaariosa, saadaan kaksi varsin monimutkaista lauseketta:

Nämä ovat $= 0$ eräillä käyrillä kompleksitasossa (xy-tasossa) ja käyrien leikkauspisteet ovat yhtälön kompleksisia juuria. Kuvan piirtäminen auttaa hahmottamaan tilannetta.

Reaaliosa sininen, imaginaariosa vihreä, kompleksiset juuret (osa) punaiset

Kiinnostuneelle lukijalle on tarjolla Mathematican syöttötiedoksi kelpaava dokumentti ja tämän pdf-muoto.

Mitä tästä sitten pitäisi opetuksen suhteen päätellä?

Kompleksisilla potensseilla ei kannata hurjastella, mutta kompleksilukujen alkeet ehkä pitäisi tuntea, aikoinaan ne on opetettukin. Laskentaohjelmien tulostukset eivät tällöin aiheuttaisi ihmettelyä.  Laskentaohjelmat ovat hyviä työkaluja, ja niiden käyttöön on hyvä harjaantua. Tämä ei kuitenkaan tarkoita ainakaan ensisijaisesti komentojen opettelua vaan asenteen omaksumista: kokeillaan ja tutkitaan. Ei pidä jahdata ns. oikeata ratkaisua, vaan pyrkiä lisäämään asian ymmärtämistä.  Komentoja ei tarvitse muistaa, mutta tulisi kehittää kyky löytää ohjelman dokumentaatiosta se, mitä kulloinkin tarvitaan, ja myös se, mitä koskaan ennen ei ole käytetty. Grafiikkakin on erinomainen työkalu, jota ei pidä väheksyä.