Akrobaattivierintä ja 3D-tulostus

Copyright: Giovannino (Hans Genten, Aachen, Germany),
Attribution, via Wikimedia Commons

Pöydälle vaakasuoraan asetettu ympyrälieriö vierii pöytää pitkin. Jos lieriö on isokokoinen, niin sen sisään asettuva ihminen voi hallita lieriön vierimistä asentoaan hieman muuttamalla, jolloin systeemin massakeskipiste siirtyy lieriön akselilta sivuun. Voisiko jokin muukin pinta vieriä vastaavalla, mutta ehkä monimutkaisemmalla tavalla?

Vastaus on myönteinen. Akrobaatit käyttävätkin tällaisia rakenteita, kuten linkitetystä videosta käy ilmi. Matemaattinen analyysi puolestaan löytyy American Mathematical Societyn Notices-lehden artikkelista Rolling Acrobatic Apparatus. Tässä on muun ohella kuvattuna neljän kartiopinnan rajaama kappale, joka vierii hieman mutkitellen. Kiinnostuin ja ajattelin, että olisi kiva kokeilla ihan oikealla kappaleella.

Ryhdyin piirtämään kappaletta laskentaohjelma Mathematicalla. Lähtökohtana on neljä puolikartiopintaa, joissa muodostajasuoran ja akselin välinen kulma on 45 astetta. Tällaisen parametriesitys voidaan kirjoittaa periaatteessa muotoon \[ u(0,0,1) + (1-u) (\cos(v),\sin(v),0), \quad 0 \le u \le 1,\ 0 \le v \le \pi. \] Tässä $(0,0,1)$ on kartion huippu ja  puoliympyrän muotoinen pohja on xy-tasossa. Saadut neljä (eri asennoissa olevaa) kartiopinnan palaa voidaan Mathematicassa liittää yhteen, jolloin saadaan koko kappaleen kuva. Pinnoille voidaan määritellä myös paksuus, ja saadusta kappaleesta voidaan muodostaa stl-koodi, joka kelpaa lähtökohdaksi 3D-tulostimelle. Se on kuitenkin vielä viipaloitava esikäsittelyohjelmalla (käytössä Ultimaker Cura), ts. määriteltävä jako vaakasuoriin kerroksiin ja luotava tarvittavat lisätuet. Saatu tiedosto ohjaa tulostinta. Aikaa tulostamiseen meni hieman yli neljä tuntia. (Sen verran meni opetteluksi, että vasta kolmas tulostusajo onnistui.)

Alla on kuva viipaloinnista vaaleansinisine tukineen yksi kerros avattuna ja lopputulos. Vierimisestä on myös hidastettu video. Tämä ei tosin anna aivan oikeata kuvaa, koska kappaleen tiheys ei ole vakio 3D-tulostuksen rakenteen takia eikä se siten vieri aivan tasaisesti.

 

Miten pinnasta sitten päästään kehikkoon, jonka sisään ihminenkin voisi asettua? Kartiopinnoille voidaan piirtää käyrät $u = \frac{1}{3}$, $u = \frac{2}{3}$, jolloin kappaleen pinnalle syntyy kaksi samantyyppistä käyrää kuin tennispalloissa on. Nämä sijaitsevat samalla pallopinnalla (ei piirretty alla oleviin kuviin), jonka keskipiste on kappaleen keskipisteessä. Kun käyrät korvataan putkirakenteella, poistetaan kartiopinnat ja lisätään jonkinlaiset tukisauvat, saadaan kehikko, jossa putkirakenne muodostaa ikään kuin raiteen, jonka varassa vieriminen tapahtuu.

Kiintoisaa olisi tehdä tämäkin 3D-tulostuksella. Epäilen vain onnistumista, koska tulostuksen aikaisia lisätukia tarvitaan paljon. Ehkä kuitenkin pitäisi kokeilla.