Pallopythagoras

Pallokolmio

Pallokolmio on pallopinnalla oleva kolmio, jonka sivut ovat jonkin isoympyrän kaaria. Kolmion kärkipisteessä leikkaa kaksi isoympyrää, joille voidaan leikkauspisteeseen asettaa tangentit. Näiden välinen kulma on pallokolmion kulma. Kulma voi olla suora, jolloin kyseessä on suorakulmainen pallokolmio. Itse asiassa pallokolmiossa voi olla kaksi tai jopa kolme suoraa kulmaa.

Pallokolmio, jossa on kolme suoraa kulmaa

Pallokolmioita voidaan usein käsitellä vektorialgebran avulla. Olkoot $\vec{A}$, $\vec{B}$ ja $\vec{C}$ vektoreita, jotka osoittavat pallon keskipisteestä $K$ pallokolmion kärkiin $A$, $B$ ja $C$. Vektoreiden $\vec{A}$ ja $\vec{B}$ välinen kulma olkoon $\gamma$, vektoreiden $\vec{B}$ ja $\vec{C}$ välinen kulma olkoon $\alpha$, vastaavasti vektoreiden $\vec{C}$ ja $\vec{A}$ välinen kulma $\beta$. Nämä ilmaistaan radiaaneissa.  Tällöin kolmion kärjen $A$ vastaisen sivun pituus on $a = r\alpha$, kärkien $B$ ja $C$ vastaisten sivujen pituudet $b = r\beta$ ja $c = r\gamma$, missä $r$ on pallon säde.

Pallon keskipisteestä kolmion kärkiin osoittavat vektorit

Skalaaritulon määritelmän (tai perusominaisuuden, miten halutaankin) mukaan on $\vec{A}\cdot\vec{B} = r^2\cos\gamma$, $\vec{B}\cdot\vec{C} = r^2\cos\alpha$, $\vec{C}\cdot\vec{A} = r^2\cos\beta$.

Jos pisteessä $C$ on suora kulma, ovat tasot $KAC$ ja $KBC$ kohtisuorat. Tällöin niiden normaalivektorit (ristitulovektorit) $\vec{A}\times\vec{C}$ ja $\vec{B}\times\vec{C}$ ovat myös kohtisuorat, ts. niiden skalaaritulo on $= 0$. Skalaaritulon lauseke saa vektorialgebraa käyttäen muodon \begin{align*} &(\vec{A}\times\vec{C}) \cdot (\vec{B}\times\vec{C}) = (\vec{A}\times\vec{C}) \times \vec{B} \cdot \vec{C}) = \left((\vec{A}\cdot\vec{B})\vec{C} - (\vec{B}\cdot\vec{C})\vec{A}\right) \cdot \vec{C} \\ &= r^2(\vec{A}\cdot\vec{B}) - (\vec{B}\cdot\vec{C})(\vec{A}\cdot\vec{C}) = r^4\cos\gamma - r^4\cos\alpha\cos\beta.\end{align*} Koska tämä on $= 0$, saadaan \[ \cos\gamma = \cos\alpha\cos\beta.\] Tätä kutsutaan pallogeometrian Pythagoraan lauseeksi.

Yhteys tavalliseen Pythagoraan lauseeseen nähdään lausumalla kulmat kolmion sivujen pituuksien avulla: \[ \cos(c/r) = \cos(a/r)\cos(b/r).  \] Jos sivujen pituudet pidetään vakioina ja annetaan pallon säteen kasvaa, kulmat lähestyvät nollaa ja kolmio lähestyy tasokolmiota. Pienillä argumentin arvoilla kosini voidaan korvata toisen asteen Taylorin polynomilla: \[ \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}.  \] Tällöin yhtälö saa muodon \[ 1 - \frac{c^2}{2r^2} \approx \left(1 - \frac{a^2}{2r^2}\right)\left(1 - \frac{b^2}{2r^2}\right) \] tai \[ \frac{c^2}{2r^2} \approx \frac{a^2}{2r^2} + \frac{b^2}{2r^2}, \] kun lisäksi termi $\dfrac{a^2b^2}{4r^4}$ jätetään huomiotta pienenä neljännen asteen terminä. Tämä sieveneekin tavalliseksi Pythagoraan yhtälöksi $c^2 \approx a^2 + b^2$.