Nelikulmioiden runsaudensarvi

Kävin kouluni pääosin 50-luvulla, jolloin kuoluvuosien 7-12 matematiikanopetuksesta suuri osa käsitteli geometriaa Eukleideen tapaan: todistettiin tasokuvioita koskevia teoreemoja eli lauseita, konstruoitiin kuvioita harpilla ja viivoittimella. Jonkin verran käytettiin myös algebraa geometrisiin ongelmiin. Tästä on nykyisessä koulukurssissa jäljellä aika vähän. En oikeastaan pidä sitä pahana. Kuvioiden ominaisuudet eivät ehkä kovin tärkeitä ole, deduktiivinen päättely saattaisi ollakin.

Kuvioiden geometrisissa ominaisuuksissa ja niiden todistamisessa on kuitenkin jotakin viehättävää, ainakin Eukleideensa lukeneelle. Olen selaillut AMS:n ja MAA:n (American Mathematical Society, Mathematical Association of America) yhdessä julkaisemaa Claudi Alsinan ja Roger B. Nelsenin teosta A Cornucopia of Quadrilaterals, suomeksi 'nelikulmioiden runsaudensarvi'. Ei varmaankaan aineistoa koulukurssille eikä siis tiukasti ottaen tarpeellista. Muutama hyvä idea ylioppilaskokeeseen voisi kyllä löytyä.  Pikemminkin kyseessä on palanen geometrista kulttuuria, hämmästyttävä määrä yksinkertaisten kuvioiden ominaisuuksia ja säännönmukaisuuksia, todistamisen ja sen tarpeellisuuden idea.

Kirjassa on yli 300 sivua, aiheena yksinomaan nelikulmiot, kaikin tavoin. Ominaisuuksia ja niiden todistuksia, selkeät kuvat, haasteiksi (challenge) kutsuttuja helpompia ja vaikeampia harjoitustehtäviä, niiden ratkaisut, hakemisto. Lopussa on varsin laaja kirjallisuusluettelo, joten tietojaan voi helposti syventääkin. (Olisiko tässä aineksia opettajakoulutukseen?)

Lukijan alkaa helposti tehdä mieli kokeilla: Onko se nyt todella noin, jos muunnan kuviota?  Entä jos teksinkin hieman toisin? Voisinko todistaa jotakin vastaavaa samaan tapaan?  Kouluaikanani kokeilut olisivat olleet hankalia: piirrettävä melkein sama kuvio moneen kertaan.  Nykyään on helpompaa: tällaisiin kokeiluihin GeoGebra (tai vastaava) on omiaan.

Muutama esimerkki:

Nelikulmion massakeskipisteen hakeminen

Mielivaltaisen nelikulmion massakeskipiste voidaan hakea ajattelemalla, että nelikulmion kärjissä on identtiset massat. Jokaisen sivun massakeskipiste on tällöin sen keskipiste. Kun nämä yhdistetään perättäin, syntyy suunnikas (miksi?). Tätä kutsutaan Varignonin suunnikkaaksi ranskalaisen matemaatikon Pierre Varignonin (1654–1722) mukaan. Suunnikkaan kahden vastakkaisen kärjen massakeskipiste on niiden yhdysjanan, suunnikkaan lävistäjän keskipiste. Koska kummankin lävistäjän keskipisteet yhtyvät (miksi?), on saatu Varignonin suunnikkaan massakeskipiste. Tämä on myös alkuperäisen nelikulmion massakeskipiste.

Toisaalta nelikulmio voidaan ajatella homogeeniseksi levyksi. Kun se jaetaan (toisella) lävistäjällä kahdeksi kolmioksi, voidaan kummallekin kolmiolle löytää massakeskipiste keskijanojen leikkauspisteestä. Nelikulmion massakeskipiste sijaitsee näiden yhdysjanalla.  Tekemällä vastaava konstruktio toisen lävistäjän suhteen saadaan toinen yhdysjana.  Massakeskipiste on näiden yhdysjanojen leikkauspiste.

Lukija jää ehkä miettimään, ovatko saadut massakeskipisteet samat. Kokeilemaan GeoGebralla ja myönteisessä tapauksessa todistamaan!

Sinin ja kosinin yhteenlaskukaavat (kirjan kuvio 6.4.2)

Toinen esimerkki trigonometriasta:  Kuvioilla voi todistaakin kaikenlaista, vaikkapa sinin ja cosinin yhteenlaskukaavat \begin{align*} \sin(x+y) &= \sin x \cos y + \cos x \sin y, \\ \cos(x+y) &= \cos x \cos y - \sin x \sin y \end{align*} rakentamalla sopivista kolmioista suorakulmio sopivalla tavalla. (Samaa ideaa käytti myös K. Väisälä 50-luvulla trigonometrian kirjassaan, mutta hän ei pakannut kolmioitaan suorakulmion sisään.)

Miten tällaisia muualla maailmassa ilmestyneitä kirjoja sitten saa käsiinsä? Painetun kirjan tilaamisesta sen saapumiseen saattaa kulua viikkoja, varsinkin korona-aikana pikemminkin kuukausia. Onneksi kuitenkin sähköisten kirjojen tarjonta on lisääntynyt. Sain tämän kirjan jäsenyyteni perusteella ilmaiseksi ja ostopäätöksestä kirjan tallentumiseen koneeni levylle meni muutama minuutti. Luottokortilla maksaminen tuskin prosessia merkittävästi hidastaa. Sähköisissä kirjoissa on muitakin hyviä puolia: eivät täytä kirjahyllyä, hävittäminen on helppoa.

Tarjonnan seuraaminen kyllä teettää hieman töitä eikä esitteen tai mainoksen perusteella aina ole helppoa päätellä kannattaako ostaa. Olisiko vaikka MAOLilla resursseja seurata tarjontaa ja nostaa kiinnostavia teoksia esiin?

Kieli, ainakaan englanti, ei varmaan ole ylivoimainen este. Matematiikassa tarvittava sanasto on aika suppea. Suomeksi kääntäminen voisi tietenkin olla hienoa, mutta vaikka se levikkiä lisäisikin, kaupallista kannattavuutta tuskin syntyisi.