Miksi $1+1$ on $2$?

En oikein tiedä, miten peruskoulussa opetetaan, että $1+1$ on $2$. Ehkä tämä ei olekaan matemaattinen ongelma vaan kielellinen. Jos pöydällä on omena — siis yksi omena — ja siihen tuodaan toinenkin omena — siis yksi omena lisää — niin on tapana sanoa, että pöydällä kaksi omenaa. Ei tässä ole kysymys matematiikasta vaan kielenkäytöstä.

Aksiomaattisiin määrittelyihin viehättynyt matemaatikko kuitenkin ajattelee, että kyseessä on laskutoimituksen määrittely luonnollisten lukujen joukossa ja luonnolliset luvut ovat joukko $\mathbb{N}$, joka karakterisoidaan Peanon aksioomilla. Tältä pohjalta pitäisi siis olla osoitettavissa, että $1+1 = 2$.

Italialainen matemaatikko Giuseppe Peano (1858-1932) julkaisi nimeään kantavat aksioomat vuonna 1889 latinaksi kirjoitetussa teoksessaan Arithmetices principia, nova methodo exposita. Julkaisupaikka on Augusta Taurinorum, italiaksi Torino.

Joukko $\mathbb{N}$ määritellään luonnollisten lukujen joukoksi, jos se toteuttaa seuraavat aksioomat:

1. $0 \in \mathbb{N}$, ts. joukossa on luku, jolle annetaan nimeksi $0$.
2. Jokaisella luonnollisella luvulla $n \in \mathbb{N}$ on seuraaja $s(n) \in \mathbb{N}$.
3. $0$ ei ole minkään luonnollisen luvun seuraaja.
4. Jos $s(n) = s(m)$, niin $n = m$.
5. Jos $M$ on luonnollisten lukujen osajoukko, jolla on ominaisuudet $0 \in M$ ja $n \in M \implies s(n) \in M$, niin $M = \mathbb{N}$.

Viides aksiooma, ns. induktioaksiooma on näistä vaikeimmin hahmotettava. Se lähinnä rajoittaa luonnollisten lukujen joukon kokoa.

Aksioomat Peanon julkaisussa

Alkuperäisessä julkaisussaan Peanolla ykkönen oli pienin luonnollinen luku nollan sijasta, mutta myöhemmin hän siirtyi käyttämään nollaa. Nykyään käytäntö vaihtelee. Asiayhteydestä riippuen käytetään jompaakumpaa.  Kumpikin on periaatteessa mahdollinen, mutta esimerkiksi seuraavassa esiintyviin lausekkeisiin tulee pieniä muutoksia, jos käytetäänkin nollan sijasta ykköstä.

Peanon aksioomissa ei puhuta yhteen- tai kertolaskusta yhtään mitään. Laskutoimitukset on ensin määriteltävä, jotta voidaan yrittää laskea $1+1$. Tätäkin ennen on määriteltävä, mitä tarkoittaa symboli $1$ ja mitä tarkoittaa symboli $2$. Näistäkään aksioomat eivät sano mitään.

Aksiooman 2 mukaan jokaisella luonnollisella luvulla on seuraaja. Siis myös luvulla $0$ on seuraaja $s(0)$.  Koska aksiooman 3 mukaan $0$ ei ole minkään luvun seuraaja, ei voi olla $s(0) = 0$. Tällöin $s(0)$ on jokin muu luku ja sille voidaan antaa nimeksi $1$, siis $s(0) = 1$. Tällä on myös seuraaja $s(1) = s(s(0))$. Samoin kuin edellä tämä ei voi olla $= 0$. Ei voi myöskään olla $s(s(0)) = 1 = s(0)$, sillä tästä seuraisi aksiooman 4 mukaan $s(0) = 0$. Luku $s(1)$ on siis jokin muu luku ja sille voidaan antaa nimeksi $2$. Siis $s(1) = 2$.  Näin voidaan jatkaa, mutta tämän artikkelin tavoitetta varten ei enempää tarvita.

Yhteenlaskun määrittely perustuu induktioaksioomaan. Jos $p$ on jokin luonnollinen luku, määritellään $p + 0 = p$. Jos $n$ on jokin luonnollinen luku ja $p+n$ on määritely, määritellään $p + s(n) = s(p+n)$.  Tällöin niiden lukujen $n$ joukko $M$, joille laskutoimitus $p + n$ on määritelty, täyttää induktioaksiooman ehdot ja siis $M = \mathbb{N}$.

Yhteenlaskun määritelmästä seuraa erityisesti on $s(p) = s(p + 0) = p + s(0) = p + 1$. Luvun seuraaja siis saadaan lisäämällä ykkönen. (Tämä on itse asiassa motiivina määrittelyssä $p + s(n) = s(p+n)$, joka purkautuukin muotoon $p + (n + 1) = (p + n) + 1$.)

Yhteenlaskun määrittelyn jälkeen on päästy perille: $1 + 1 = 1 + s(0) = s(1 + 0) = s(1) = 2$.

Vaikka tavoitteeseen onkin päästy, ei laskutoimitusten määrittely kokonaisuutena ole valmis. Lukija voi miettiä, miten voitaisiin osoittaa esimerkiksi yhteenlaskun vaihdannaisuus $(p + n = n + p)$ tai miten voitaisiin määritellä kertolasku. Jääköön harjoitustehtäväksi.

Vaikka yhteenlaskulle $1 + 1$ onkin saatu täsmällinen määrittely, ei peruskoulun opetussuunnitelmaa liene syytä kehittää tähän suuntaan. Usein ihailtu matemaattinen täsmällisyys ja asioiden oppiminen eivät aina (koskaan?) ole sama asia. Pedagogin ongelmana onkin, miten esittää matematiikan käsite ymmärrettävästi, mutta tekemättä liikaa väkivaltaa matematiikalle.