Mikä on suora?

Christophorus Clavius, Euclidis Elementa, 1574

Viime blogijutussani esittelin epäeuklidisen geometrian mallia, jossa suorina pidettiin ympyränkaaria, jotka kohtaavat erään rajaympyrän kohtisuorasti. Miksi tällaisia kutsutaan suoriksi, vaikka ne ovat kaarevia eivätkä suinkaan suoria?

Matematiikka on vanha tiede ja tässäkin on mentävä juurille yli kahden tuhannen vuoden taakse.  Antiikin kreikkalaisten suuri idea oli rakentaa geometriasta johdonmukainen järjestelmä. Lähtökohtina olivat yksinkertaiset käsitteet (määritelmät), niiden perusominaisuudet (postulaatit) ja päättelysäännöt (aksioomat). Postulaatteja kutsuttaisiin nykyään mieluummin aksioomiksi. Näihin pohjautuen esitettiin konstruktioita ja väittämiä (propositioita, teoreemoja), joiden tuli perustua joko lähtökohtiin tai aiemmin todistettuihin väittämiin. Kyseessä oli logiikkaan pohjautuva deduktiivinen päättely.

Oppijärjestelmän esitti Eukleides Aleksandrialainen noin vuonna 300 eaa. teoksessaan Στοιχεῖα (Stoikheia), latinaksi Elementa, suomeksi yleensä Alkeet (vaikkakaan se ei ole alkeisoppikirja vaan pikemminkin oppijärjestelmän perusteet). Teoksesta tuli geometrian oppikirja yli 2000 vuodeksi. Siitä on kirjoitettu useita toisistaan enemmän tai vähemmän poikkeavia versioita kommentaareineen. Vielä 1960-luvulla suomalaisen oppikoulun (peruskoulun yläkoulun ja lukion) geometrian kurssin pohjana oli Eukleideen geometria.

Viivan Eukleides määrittelee pituudeksi ilman leveyttä (määritelmä 2, Linea est longitudo sine latitudine).  Suora viiva eli suora taas on sellainen, joka on pisteidensä suhteen tasainen (määritelmä 4, Recta linea est quæ ex æquo sua interiacet puncta). Teoksen alkukieli oli tietenkin kreikka, joten olisi oikeampaa nojautua kreikankieliseen tekstiin. Tämäkin on kyllä saatavissa, esimerkiksi Dimitrios E. Mourmourasin verkkosivuilta. Latina on kuitenkin hieman helpommin ymmärrettävää, vaikka matemaatikko toki kreikkalaiset kirjaimet hallitseekin.  Teoksen latinankielisiä versioita (tai siihen pohjautuvia tekstejä) on vuosisatojen kuluessa julkaistu useita, esimerkiksi Carolus Malapertiuksen kommentoitu esitys vuodelta 1620.  Myös englanninkielinen versio löytyy.

Varsinkin suoran määritelmästä on Eukleideen esitystä noudattelevissa teoksissa esitetty erilaisia versioita. Mikään näistä ei oikeastaan ole määritelmä nykyaikaisessa mielessä vaan jonkinlainen kuvailu siitä, mitä tarkoitetaan: pisteidensä suhteen tasainen, pisteestä toiseen ulottuva, päätepiste varjostaa välipisteet (vrt. valonsäteeseen).

Historiallisesti mielenkiintoinen on viides postulaatti, joka muodostaa pohjan ns. paralleeliaksioomalle.  Latinankielisessä on hieman tavaamista: Et quod si ceciderit linea recta super duas lineas rectas, et fecerit in una duarum partium duos angulos interiores minores duobus rectis, ille due linee recte, quando in illam partem protrahentur, coniungentur. Englanninkielinen versio ehkä auttaa: That, if a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles. Tästä seuraa paralleeliaksiooma sellaisena kuin se suomalaisissa geometrian kirjoissa yleensä on esitetty: Suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta voidaan asettaa täsmälleen yksi sen suuntainen suora.

Viides postulaatti ei ollut yhtä yksinkertainen ja itsestään selvänä pidettävä kuin muut postulaatit, ja tuntui, että se (tai edellä oleva paralleeliaksiooman muotoilu) pitäisi voida todistaa muihin postulaatteihin perustuen, jolloin kyseessä olisikin teoreema eikä postulaatti. Tätä yritettiin vuosisatojen ajan onnistumatta. Vielä nykyäänkin tapaa aina silloin tällöin hieman originelleja matematiikan harrastajia, jotka pyrkivät todistamaan paralleeliaksiooman.

Asia ratkesi vasta 1800-luvun alkupuolella, jolloin venäläinen Nikolai Lobatševski ja unkarilainen Janos Bolyai toisistaan riippumatta esittivät geometrisen järjestelmän, joka toteutti muut postulaatit mutta ei paralleeliaksioomaa. Tämä osoitti, että paralleeliaksioomaa ei ollut mahdollista todistaa muiden postulaattien pohjalta. Intuitiivinen mielikuva suorasta oli tällöin kuitenkin hylättävä. Oli hyväksyttävä, että suora saattoi tarkoittaa muunkintyyppistä oliota, kunhan sillä vain oli suoran karakteristiset ominaisuudet, esimerkiksi se, että kaksi pistettä määrää suoran yksikäsitteisesti. Tällaisia geometrioita alettiin kutsua epäeuklidisiksi. Edellisen blogikirjoitukseni Poincarén malli on tällainen.

David Hilbert, Grundlagen der Geometrie, alku

Suoran määrittelyssä olevan epämääräisyyden poisti lopullisesti David Hilbert vuonna 1899 teoksessaan Grundlagen der Geometrie, jossa hän esitti geometrialle modernin aksiomatiikan. Lähtökohtana on kaksi objektijoukkoa, joista toisen olioita kutsutaan pisteiksi ja toisen olioita suoriksi. Näille määritellään ns. insidenssirelaatio, joka kertoo mikä piste sijaitsee milläkin suoralla. Lisäksi vaaditaan, että oliot (siis pisteet ja suorat) toteuttavat tietyt aksioomat. Nämä voidaan valita eri yhteyksissä eri tavoin, jolloin valinnasta riippuen saadaan erilaisia geometrioita. Siten esimerkiksi paralleeliaksiooman toteutuminen voidaan vaatia tai olla vaatimatta. Tämän kummallisemmin ei suoraa (eikä pistettä) määritellä tai luonnehdita. Epämääräisyys poistui jättämällä määrittely tekemättä!

Jonkinlainen ääriesimerkki geometriasta on Fanon taso, jossa on vain seitsemän pistettä ja seitsemän suoraa. Se voidaan havainnollistaa oheisella kuviolla, jossa suoria ovat kolmion sivut ja korkeusjanat sekä kolmion sisään piirretty ympyrä. Geometrian seitsemän pistettä on merkitty tavalliseen tapaan mustilla täplillä. Yhtä hyvin Fanon tason voisi esittää insidenssitaululla, jossa yläpuolen vaakarivillä ovat pisteet ja vasemman reunan pystyrivillä suorat. Taulukon täplä osoittaa pisteen kuulumista suoralle.