Matematiikan yksikäsitteisyydestä

K. Väisälä, Trigonometria, 5. painos, s. 46

En oikein ymmärrä, mitä matematiikan yksikäsitteisyys voisi tarkoittaa, mutta olen tavannut koko joukon henkilöitä, jotka pitävät matematiikkaa yksikäsitteisenä siinä mielessä, että jokainen matematiikan tehtävä voidaan ratkaista vain yhdellä oikealla tavalla. Käsitys tuntuu minusta aika erikoiselta, mutta ehkä se on yleisempikin, koska didaktikotkin ovat siihen kiinnittäneet huomiota: Riikka Palkki, Matematiikan opettajien ja opettajaopiskelijoiden käsityksiä vertailumenetelmästä (https://www.lumat.fi/index.php/lumat/article/view/327/324). Artikkelin vertailumenetelmä tarkoittaa, että oppilaat joko itse laativat tai heille esitetään erilaisia ratkaisutapoja samaan tehtävään ja että asiaa tämän jälkeen pohditaan.

Milloinkahan tällainen yksikäsitteisyyskäsitys on syntynyt?

Olen käynyt lukioni 50-luvun lopulla ja 60-luvulla opiskellut matematiikkaa yliopistossa. Jo kouluaikana minulle oli selvää, että tehtäviä saattoi ratkaista eri tavoilla, kaikki oikeita. Ei asiaa mitenkään erityisesti painotettu, näin vain tapahtui ja tilanne tuntui täysin luonnolliselta. Se oli myös osa matematiikan viehätystä: asiaa saattoi lähestyä eri näkökulmista ja taustalla oli jotakin invarianttia, näkökulmista riippumatonta.

Onko jossakin vaiheessa noiden aikojen jälkeen matematiikan opetus muuttunut siten, että tehtäviin pyritään tarjoamaan valmis tietyn reseptin mukainen ratkaisu, joka oppilaan tulee oppia? Tavallaan siis opetellaan ulkoa tiettyjä rutiineja: näin ratkaistaan ensimmäisen asteen yhtälö, näin haetaan funktion maksimikohta, näin tämän tyypin tehtävä. Kuvittelen, että ennen opetettiin pikemminkin toisin päin: esimerkiksi erilaisia työkaluja lausekkeen muokkaamiseen ja näiden ominaisuuksia, sitten näitä eri tavoin kombinoimalla ratkaistiin tehtävä. Kombinointi saattoi tapahtua monella tavalla ja syntyi erilaisia ratkaisutapoja.

Toki olen omissa opinnoissani moneen kertaan opetellut myös rutiineja, mutta ainoina mahdollisuuksina en ole niitä koskaan ajatellut. Esimerkkinä vaikkapa rationaalifunktion integrointi: jos et mitään fiksumpaa keksi, niin tee seuraavasti ... Olen myös opettanut tällaisia rutiineja, mutta en toivoakseni koskaan ainoana sallittuna tai ainoana mahdollisena lähestymistapana.

Pitkään matematiikkaan kuului lukioaikanani erillinen trigonometrian osuus. Tässä ratkaistiin myös trigonometrisia yhtälöitä ja jopa epäyhtälöitä. Nämä muodostivat erinomaisen esimerkin mahdollisuuksista käyttää erilaisia lähestymistapoja. Käytettävissä olivat trigonometrian peruskaavat ja näitä saattoi käyttää monella eri tavalla. Tuloksena monia erilaisia ratkaisutapoja. Ehkä kuvaavaa on, että kun säästin lukioaikaiset laskuni käyttääkseni niitä myöhemmin yksityistunteja antaessani, totesin ne aika pian hyödyttömiksi. Omat taidot olivat kehittyneet sen verran, että lähes poikkeuksetta löysin tehtävälle lyhyemmän ja fiksumman ratkaisutavan.

Vaikka trigonometriset yhtälöt olivatkin opettavaisia, olivat ne jo tuolloin aika eksoottinen pitkän matematiikan osa. Vielä enemmän ne olisivat sitä nyt. Sopivia joustavuuden harjoittelukohteita löytyy kuitenkin muitakin, vaikkapa lausekkeiden algebrallinen sievennys. Tämä on sikälikin hyvä vaihtoehto, että sievyys ei ole yksikäsitteistä, vaan riippuu siitä, mitä tuloksella on seuraavaksi tarkoitus tehdä. Eikä symbolisista laskentaohjelmistakaan ole aina apua. Niillä on omat periaatteensa ja tulosten saattaminen johonkin vaihtoehtoiseen muotoon voi olla vaativa tehtävä.

Jos rutiinien sijaan painotetaan sopivien työkalujen opettelua, nousee oleelliseksi kysymykseksi, mitkä ovat tarpeellisia ja sopivia työkaluja. Trigonometria on tässäkin kohdassa hyvä — tai usein huono — esimerkki. Trigonometrisia kaavoja on paljon ja usein esitetään aika sekalainen näistä valittu kokoelma. Oleellisempaa olisi esittää varsin harvoja kaavoja ja näyttää näiden riippuvuudet ja johtaminen. Kyse on matemaattisen tiedon jäsentämisestä, minkä pitäisi olla opetuksen tärkeimpiä tavoitteita. Oman näkemykseni trigonometriasta olen esittänyt lukiolaiselle sopivassa tietosanakirjassa M niinkuin matematiikka, http://matta.hut.fi/matta/isom/isom.pdf#page.106. (Olemassa myös painettuna kirjana, ks. http://www.elisanet.fi/simo.kivela/kirjat.html.)