sunnuntai 23. syyskuuta 2018

Kimurantti Bolzano

Bolzanon lause
Jokainen pitkän matematiikan lukija taitaa nykyään oppia Bolzanon lauseen ja sen tärkeyden: Jos jatkuva funktio saa erimerkkiset arvot välin päätepisteissä, niin sillä on tällä välillä ainakin yksi nollakohta. Miksi tämä sitten on niin tärkeä tulos? Eikö ajattelevan lukiolaisen pitäisi pikemminkin pitää asiaa triviaalina: jos x-akselin alapuolella oleva piste ja yläpuolella oleva piste yhdistetään yhtenäisellä käyrällä, niin pakkohan käyrän on leikata x-akseli jossakin pisteessä? Miksi tässä pitää vannoa 1800-luvun alkupuoliskolla vaikuttaneen tšekkiläisen matemaatikon Bernard Bolzanon nimiin? Onhan sekin selvää, että jos ympyrän keskipiste ja ympyrän ulkopuolinen piste yhdistetään, niin yhdysjana leikkaa ympyrän jossakin pisteessä.

Kyseessä on yllättävän pitkän iän saavuttanut jäänne ajalta, jolloin analyysia — differentiaali- ja integraalilaskentaa — pyrittiin lukiossakin opettamaan nykyistä täsmällisemmin. Ajankohta on 60-luku, jolloin matematiikan opetusta kehitettäessä abstraktiotasoa pyrittiin nostamaan ja iskettiin kyllä myös kirves joukko-opin kiveen. Sen jälkeen muutokset ovat olleet oppimäärän supistuksia ja trivialisointeja, mutta joitakin kohokohtia on jäänyt kuin oksankohtia kuluneeseen lattiaan. Bolzanon lause on näitä.

Jos jatkuvuus määritellään huolellisesti epsilonien ja deltojen avulla eikä vain epämääräisesti funktion kuvaajan katkeamattomuutena, asia ei ole aivan yksinkertainen. Reaalilukuihinkin voi suhtautua vain lujasti uskoen sen enempää ihmettelemättä. Täsmällisempään käsittelyyn tarvitaan aksiomatiikka mukaan luettuna pienimmän ylärajan olemassaoloa koskeva täydellisyysaksiooma. Vaihtoehtona on Cauchyn jonojen käyttö. Mitään näistä ei oikein voi sisällyttää lukion oppimäärään ehkä poisluettuna matematiikkaan vahvasti panostavat lukiot.

Tässä ympäristössä Bolzanon lause ei ole lainkaan triviaali. Sen todistuksessa tarvitaan sekä jatkuvuuden täsmällinen karakterisointi että reaalilukujoukon täydellisyys. Eihän se edes ole voimassa rationaalilukujoukossa. Arvelen, että Bolzanon lauseen luonne ei ole selvä monille opettajillekaan, vaikka ehkä ovatkin sen aikanaan yliopistossa opiskelleet.

Voisi olla parempi, että Bolzanon lausetta ei lukiossa käsiteltäisi, ellei sitten voida avata sen todellista luonnetta. Ei ole syytä antaa mielikuvaa, että matematiikka on selviin asioihin kohdistuvaa saivartelua ja pilkunviilausta.

Lopuksi pientä pohdittavaa asiaan liittyen.

Cantorin funktioksi, joskus myös paholaisen portaiksi kutsutaan oheisen kuvan mukaista välillä $[0,1]$ määriteltyä funktiota $f$:
Cantorin funktio

Päätepisteissä on $f(0) = 0$ ja $f(1) = 1$. Väli $[0,1]$ jaetaan kolmeen yhtä suureen osaan ja keskimmäisellä kolmanneksella (suljetulla välillä) funktio saa vakioarvon päätepistearvojen puolivälistä, siis $\frac{1}{2}$. Jäljellä olevat osat, ensimmäinen ja viimeinen kolmannes jaetaan jälleen kolmeen yhtä suureen osaan. Keskimmäisillä (suljetuilla) osilla funktio saa vakioarvon päätepistearvojen puolivälistä, siis $\frac{1}{4}$ ja $\frac{3}{4}$. Jäljellä olevat palat jaetaan jälleen kolmeen yhtä suureen osaan ja jatketaan samaan tapaan loputtomiin.

Funktio tulee tällöin määritellyksi osaväleillä, joiden yhteinen pituus on
\[
\frac{1}{3} + 2\cdot\frac{1}{9} + 4\cdot\frac{1}{27} + \dots =
\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^k = 1,
\]
ts. se on määritelty koko välillä $[0,1]$. Ilmeisesti funktio on myös jatkuva.

Bolzanon lauseesta seuraa, että tällainen funktio saa kaikki arvot pienimmän ja suurimman arvonsa väliltä, siis esimerkiksi irrationaaliarvon $1/\sqrt{2}$. Edellä olevan mukaan funktio saa kuitenkin vain arvoja, jotka ovat luvun $\frac{1}{2}$ potenssien monikertoja, ts. muotoa $\displaystyle\frac{n}{2^k}$, missä $n$ ja $k$ ovat luonnollisia lukuja. Nämä ovat rationaaliarvoja.

On siis syntynyt ristiriita. Vai onko?

3 kommenttia:

aquarian kirjoitti...

"Ilmeisesti funktio on myös jatkuva." Vai onko? Portaita on kyllä äärettömästi, mutta niin on rationaalilukujakin, vaikka vain puolikkaan potensseja, jonka monikerroista funktion arvojoukko muodostuu. Ja geometrisilla sarjoillahan saadaan aikaan kaikkea jännittävää, kuten vaikkapa sinin sarjakehitelmästä. Mutta minä en ole mitenkään hyvin perehtynyt aiheeseen, joten voin olla hakoteillä.

Anonyymi kirjoitti...

Funktio on määritelty vain osaväleillä, mutta välien ulkopuolella saattaa olla pisteitä, joilla funktio ei ole määritelty. Mitä, jos funktio "hyppää" irrationaaliarvojen yli tällaisissa määrittelemättömissä pisteissä?

Simo Kivelä kirjoitti...

Olihan se päättely vähän suruttomasti kirjoitettu. Funktio on määritelty joukossa, joka on unioni äärettömän monesta suljetusta välistä, joilla ei ole yhteisiä pisteitä. Näiden yhteinen pituus eli joukon mitta on 1, mutta tämä ei tarkoita, että joukko olisi koko väli [0,1]. Pisteitä jää puuttumaan eikä Bolzanon lausetta voi soveltaa. Määrittelyjoukossaan funktio kyllä on jatkuva. Puuttuvissa pisteissä funktiolla on raja-arvo (epsilon-delta-määritelmä!) ja jos määrittelyjoukkoa laajennetaan asettamalla tämä raja-arvo funktion arvoksi, saadaan reaaliakselin välillä [0,1] jatkuva funktio. Arvojoukkokin tällöin laajenee ja Bolzanon lause pätee.

Annetaan lisäongelma: Esitä algoritmi, jolla funktion arvo missä tahansa pisteessä saadaan lasketuksi.