keskiviikko 20. joulukuuta 2017
Joulurauhan konvergenssi
Samalla kun toivotan lukijoille hyvää joulua, tarjoilen pientä puuhaa joulunpyhien ja jouluvieraiden ratoksi.
Tarkastelun kohteena on joulurauhan julistus, suomen- ja ruotsinkielinen versio peräkkäin pantuina. Löytyy vaikkapa Wikipedia-sivulta https://fi.wikipedia.org/wiki/Joulurauha. Puuhaan osallistujia tulisi olla useampia, ja jokainen heistä valitsee oman aloitussanansa julistuksen ensimmäisiltä riveiltä.
Aloitussanasta lähtien muodostetaan sanaketju seuraavasti: Lasketaan aloitussanan kirjaimien lukumäärä. Siirrytään eteenpäin niin monta sanaa kuin tämä lukumäärä osoittaa. Saadaan ketjun seuraava sana. Toistetaan askel tämän suhteen ja saadaan kolmas sana. Jatketaan näin, kunnes ruotsinkielisessä tekstissä sanat loppuvat, ts. jouduttaisiin hyppäämään ulos tekstistä.
Mikä on viimeinen sana? Miten tämä riippuu valitusta aloitussanasta? Miksi?
Tekstiksi voi valita muutakin kuin joulurauhan julistuksen. Latinistille voisi sopia jouluevankeliumi (Luukas 2:1-20) Vulgata-käännöksenä, esimerkiksi https://www.biblestudytools.com/vul/luke/2.html. Suomalaisen kirjallisuuden ystävälle jouluinen teksti Seitsemästä veljeksestä: kolme kappaletta kuudennesta luvusta alkaen kohdasta 'On joulu-ilta.' Tämäkin löytyy netistä: http://www.gutenberg.org/cache/epub/11940/pg11940.txt.
Tekstejä voi toki lukea paperiltakin, mutta sähköinen versio voi olla hyödyksi, jos innostuu kirjoittamaan ohjelmakoodin konvergenssin tutkimista varten.
En jää miettimään, onko tämä matematiikkaa ja sopiiko se siis matematiikkablogiin. Mutta hyvää joulua toivotan.
sunnuntai 10. joulukuuta 2017
Vierailin lukiossa
Poincarén malli: hyperbolinen epäeuklidinen geometria. Kahden pisteen määräämä suora ja kolme ulkopuolisen pisteen kautta kulkevaa suoraa, jotka ovat tämän suuntaisia. |
Geometrialla on pitkä historia, joka alkaa muinaisesta Egyptistä. Kreikkalaiset kuitenkin vasta tekivät geometriasta tiedettä ryhtymällä päättelemään asioita deduktiivisesti ja luomalla pohjaksi määritelmät, aksioomat tai postulaatit ja yleiset päättelysäännöt. Eukleides kiteytti esityksen tunnetussa teoksessaan Stoikheia, suomennettuna Alkeet.
Deduktiivisen geometrian aloitus siten kuin se suomalaisessa oppikoulussa opetettiin 1950-luvulla. |
Voiko tällaisista sitten puhua tämän päivän lukiolaisille? Mielestäni voi ja pitää puhua. Kyseessä on olennainen vaihe siinä kehityksessä, joka on tehnyt matematiikasta niin abstraktia kuin se nykyään on. Esitystapaa on kuitenkin syytä harkita. Matemaatikko herkästi aloittaa täsmällisillä määritelmillä ja siirtyy sitten todistamaan lauseita. Tämä johtaa tietenkin eksaktiin esitykseen, mutta lukiolaista jää vaivaamaan kysymys, mitä kaikki oikein tarkoittaa. Mihin se liittyy? Miksi tehdään sellaista kuin tehdään?
Eksaktisuudesta tinkimistä ei pitäisi pelätä, kunhan ei väitetä, että kyseessä olisi eksakti kaiken kattava esitys. Oikeiden mielikuvien synnyttäminen on tärkeää, täsmällisen päättelyn aika on joskus myöhemmin, jos lukiolainen päättää ryhtyä matemaatikoksi. Jos ei, niin yksityiskohtaisella päättelyllä ei ole väliäkään. Mutta sopiva kuva tai havainnollistus avaa usein näköaloja.
Tämä saattaa selittää, miksi matematiikka usein mielletään ikäväksi ja hyödyttömäksi. On opittu ainakin muodollisesti täsmällistä päättelyä, perustehtävissä tarvittavaa laskutekniikkaa ja ylioppilaskokeessa tarvittavia esitystapoja, mutta matematiikan ajattelutapa ja sen kulttuurihistoriallinen kehitys ovat jääneet hämäriksi. Jos matemaattista päättelyä ja laskutekniikkaa ei ylioppilaskokeen jälkeisessä elämässä tarvitse, on aika luonnollista pitää matematiikkaa hyödyttömänä.
En tarkoita, ettei täsmällistä päättelyäkin pitäisi oppia, mutta näkökulman pitäisi kantaa sen yli. Tärkeä työkalu, mutta metsä pitää nähdä puilta. Ei historiaakaan opiskella vuosilukulistoina, mutta aikaskaalan hahmottamiseen vuosilukuja tarvitaan.
Mitä muuta sitten kerroin lukiolaisille? Jos kerran paralleeliaksioomasta voidaan tinkiä, voi aksioomia muutoinkin asetella eri tavoin ja luoda erilaisia geometrioita, vaikkapa äärellisiä tai projektiivisia. Aksioomia tai todistuksia en esittänyt, mutta kuvia kyllä: Fanon taso ja Pappoksen lause. Lopuksi vielä muutama sana algebran käytöstä geometriassa, joko ns. analyyttisen geometrian tai vektorigeometrian muodossa, ja analyysin, ts. differentiaali- ja integraalilaskennan tarjoamista mahdollisuuksista.
Äärellinen geometria, Fanon taso. Vain seitsemän pistettä ja vain seitsemän suoraa. |
Tilaa:
Blogitekstit (Atom)