Kolmion korkeusjanat kreikkalaisittain ja mesopotamialaisittain

Eräs kollegani luonnehti kerran matemaattisten ongelmien lähestymistapoja kreikkalaisiksi tai mesopotamialaisiksi. Kolmion korkeusjanat tunnetusti leikkaavat samassa pisteessä, ja kreikkalainen lähestymistapa tämän todistamiseen on se, jota perinteisessä koulugeometriassa on harrastettu: Kolmion $ABC$ ympäri piirretään toinen kolmio $DEF$ alla olevan kuvan mukaisesti. Tällöin alkuperäisen kolmion korkeusjanoista tulee isomman kolmion sivujen keskinormaalit. Aiemmin on osoitettu, että nämä leikkaavat samassa pisteessä, ja tämä siis on myös korkeusjanojen leikkauspiste. Perinteistä euklidista geometriaa.

Mesopotamialainen lähestymistapa on laskennallinen. Vektorialgebra on tällöin käyttökelpoinen työkalu, vaikka toki vektorialgebran kutsuminen mesopotamialaiseksi onkin melkoinen anakronismi. Kolmion kärkipisteiden $A$, $B$ ja $C$ paikkavektorit olkoot $\vec{a}$, $\vec{b}$ ja $\vec{c}$. Pisteistä $A$ ja $B$ alkavien korkeusjanojen leikkauspisteen (jollainen varmasti on olemassa) $P$ paikkavektori olkoon $\vec{p}$.

Koska tietyn kärjen kautta kulkeva korkeusjana ja vastakkainen sivu ovat kohtisuorat, on
\begin{align*} (\vec{a} - \vec{p})\cdot(\vec{b} - \vec{c}) &= 0, \\ (\vec{b} - \vec{p})\cdot(\vec{c} - \vec{a}) &= 0. \end{align*}

Laskemalla yhtälöt yhteen ja sieventämällä päädytään yhtälöön
\[ (\vec{c} - \vec{p})\cdot(\vec{a} - \vec{b}) = 0, \]

mikä tarkoittaa, että piste $P$ on myös kärjestä $C$ alkavalla korkeusjanalla. Korkeusjanojen leikkaaminen samassa pisteessä on tullut todistetuksi.

Laskennallinen mesopotamialainen menettely antaa tavan johtaa lausekkeet pisteen $P$ koordinaateille. Jos $A = (x_1,y_1)$, $B = (x_2,y_2)$ ja $C = (x_3,y_3)$, muodostavat kaksi ensimmäistä yhtälöä lineaarisen yhtälöryhmän pisteen $P = (x_4,y_4)$ koordinaateille. Ryhmän ratkaiseminen käsin laskemalla on työlästä ja virhealtista, mutta tällaisissa tilanteissa symboliset laskentaohjelmat ovat vahvoilla:

Laskentaohjelmaa voidaan käyttää myös todistamisessa yksinkertaisella tavalla: sievennetään väite, kun oletetaan määrittelyehtojen voimassaolo. Ohjelma tekee raa'an työn, on vain kerrottava, mitä halutaan:

Jos tarkoituksena on vain tuloksen todistaminen, niin tarvitaanko pisteiden koordinaatteja lainkaan? Eikö voitaisi sieventää vektorimuotoinen väite vektorimuotoisten määrittelyehtojen ollessa voimassa? Periaatteessa voitaisiin. Kyse on siitä, millaista algebraa laskentaohjelma osaa, ts. mitä se on ohjelmoitu tekemään. Hyvistä ohjelmista työkalut usein löytyvät, mutta ensin on kerrottava, millaista algebraa halutaan. Oletuksena on yleensä reaali- tai kompleksilukualgebra. Jos halutaan muuta, esimerkiksi vektorialgebraa, tämä on ilmoitettava.