Kolmion kulmien summa digitaaliaikana

Kolmion kulmien summa on tunnetusti 180 astetta tai radiaaneina ilmaistuna $\pi$. Perinteinen euklidisen geometrian todistus asialle perustuu alla olevaan kuvioon ja edellyttää paralleeliaksiooman voimassaoloa. Muutoinhan kyseessä ei olisikaan euklidinen geometria.

Digitaaliaika tai tarkemmin sanottuna laskentaohjelmat antavat mahdollisuuden muunkinlaiseen lähestymistapaan.

Kolmion sivut olkoot $a$, $b$ ja $c$. Kosinilause antaa tällöin kolmion kulmien suuruudet:
\begin{align*}
\alpha &= \arccos\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\
\beta  &= \arccos\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} \\
\gamma &= \arccos\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \\
\end{align*}

Voitaisiinko näiden summa sieventää symbolisen laskennan ohjelmalla siten, että tulokseksi tulisi $\pi$?

Tehtävä on aika haastava enkä usko, että monikaan symbolinen ohjelma selviää siitä. Olen kokeillut vain Mathematicaa, joka ei siitä suoraan selviä. Periaatteessa kyse on siitä, että mikään symbolinen ohjelma tuskin hallitsee kaikkia menettelyjä, joita alykäs (?) ihminen saattaa tulla ajatelleeksi. Mutta symbolinen ohjelma on tehokas työkalu, jolla päästään pitkälle, kun sitä hieman autetaan.

Ei lasketakaan kulmien summaa, vaan summan kosinia. Sievennettävä lauseke on tällöin periaatteessa muotoa
\[
\cos(\arccos(\dots) + \arccos(\dots) + \arccos(\dots)).
\]
Voisi olla luonnollista käyttää kosinin yhteenlaskukaavaa, aluksi ensimmäisen termin ja kahden jälkimmäisen muodostamaan summaan, sitten uudelleen kahden jälkimmäisen muodostaman summan purkamiseen. Tähän tarvitaan lisäksi sinin yhteenlaskukaavaa.

Onneksi hyvissä ohjelmissa on mahdollisuus ohjata sieventämistä käskemällä käyttämään haluttuja kaavoja tai menettelyjä.

Tuloksessa on muotoa $\sin(\arccos(\dots))$ ja $\cos(\arccos(\dots))$ olevia termejä, joissa trigonometriset funktiot ja arcusfunktiot kumoutuvat. Jäljelle jää algebrallinen lauseke muuttujina $a$, $b$ ja $c$. Tällaisten sieventämisessä symboliset ohjelmat ovat yleensä vahvoja, ja tulokseksi saadaan $-1$, siis sivujen pituuksista riippumaton vakio.

Mutta tällöin ollaan perillä: jos kulman kosini on $-1$, niin kulma on $\pi$. Jaksoja vaille tosin, mutta muut mahdollisuudet eivät tule kyseeseen.

Joitakin kysymyksiä herää: Onko tämä pätevä todistus? Jos ei, niin miksi ei? Missä kohden tarvitaan paralleeliaksioomaa? Epäeuklidisessa geometriassahan tulos ei ole $\pi$. Eikö lasku edellytä, että kyseessä todella on kolmio? Kolmiossahan on aina kahden sivun summa suurempi ja erotus pienempi kuin kolmas sivu. Mitä tapahtuu, jos $a$, $b$ ja $c$ eivät täytä tätä ehtoa?

Jätän lukijalle pohdittavaksi. Ja kokeiltavaksi. Myös matematiikka voi olla empiiristä.

Esimerkki osoittaa, että symboliset ohjelmat eivät ole mustia laatikoita, jotka tekevät käyttäjän matemaattiset taidot tarpeettomiksi.  Sieventämisohjeiden antaminen ohjelmalle tuskin onnistuu, ellei käyttäjällä ole näkemystä.