Mikko Rahikan GeoGebra-sovelma (appletti) osoitteessa http://tube.geogebra.org/material/simple/id/92564 antaa aiheen arvella, että tulo olisi tasan $n$.
Varsin yksinkertainen geometrinen kuvio ja yksinkertaisen tuntuinen tulos, mutta miten sen voisi todistaa? Ja tietenkin, onko se näin? Miten Eukleides olisi ongelmaa lähestynyt?
En tunne alkeisgeometrista todistusta, mutta tällainen voisi olla kiinnostava. Toivotan kommentin tervetulleeksi, jos joku lukijoista tuntee tai löytää todistuksen.
Kompleksiluvut tuovat usein mahdollisuuden todistaa geometrisia tuloksia, mutta aivan alkeellisina todistuksia ei voida pitää. Ainakaan ne eivät olisi onnistuneet antiikin kreikkalaisille. Tässäkin tapauksessa kompleksiluvuista on iloa:
Sijoitetaan ympyrä koordinaatistoon siten, että sen keskipiste on origossa ja erikoisasemassa oleva piste on $z_0 = (1,0)$ tai kompleksiluvuksi ajateltuna $z_0 = 1$. Muut pisteet ovat tällöin
\[
z_k = \cos(2k\pi/n) + i\sin(2k\pi/n), \quad k = 1,2,\dots,n-1.
\]
Jänteiden pituudet ovat $|z_k - z_0| = |1 - z_k|$, $k = 1,2,\dots,n-1$, ja näiden tulo
\[
\prod_{k=1}^{n-1}|1 - z_k| = \left|\prod_{k=1}^{n-1}(1 - z_k)\right|.
\]
Ympyrän kehällä olevat pisteet ovat luvun $1$ $n$:nnen juuren kaikki kompleksiset arvot, ts. polynomiyhtälön $z^n - 1 = 0$ ratkaisut. Tällöin polynomi voidaan kirjoittaa muotoon
\[
z^n - 1 = (z - z_0)(z - z_1)\dots(z - z_{n-1}) = \prod_{k=0}^{n-1}(z - z_k).
\]
Jakamalla tekijällä $z - z_0$ ($= z - 1$) saadaan
\[
\frac{z^n - 1}{z - 1} = \prod_{k=1}^{n-1}(z - z_k).
\]
Vasen puoli voidaan tulkita geometriseksi summaksi, kun $z \neq 1$:
\[
\frac{z^n - 1}{z - 1} = 1 + z + z^2 + \dots + z^{n-1}.
\]
Tällöin
\[
\prod_{k=1}^{n-1}(z - z_k) = 1 + z + z^2 + \dots + z^{n-1}
\]
aina kun $z \neq 1$. Koska yhtälön kummallakin puolella on raja-arvo, kun $z \to 1$, täytyy raja-arvojenkin olla yhtä suuret. Siis
\[
\prod_{k=1}^{n-1}(1 - z_k) = n
\]
ja väite on saatu todistetuksi.
5 kommenttia:
Hauska todistus, kompleksiluvuilla voi tehdä kaikkea kivaa geometriassakin.
Geometrinen todistus voi olla vaikea. En tiedä, pääsiskö induktiolla eteenpäin, en kyllä aio ruveta miettimään.
Alkeisgeometrinen lasku johtaa tulokseen 2^(n-1)*product(sin(k*pi/n),k=1..n-1). Osaan laskea tuon sinien tulon kompleksilukujen avulla kirjoittamalla sinin exp-funktion avulla ja käyttämällä geometrisen summan kaavaa. Ihan heti ei tule mieleen helppoa "reaalista" perustelua.
Terve järki sanoo, että noin simppelissä asiassa ei tarvita raja-arvoja. Eikä vasitenkaan kompleksilukuja. Meniskö tämä millään tavalla "perusmatematiikalla". Vaikkaan, että jokin trigonometrian totuus voisi auttaa.
M
Tervehdys,
Kiitos mielenkiintoisista jutuista!
Huomasin - tai laskin huomasi - että jänteiden pituuksien neliöiden summa on tasan 2n, kun pituuksien kertolasku tuntui aivan liian vaikealta ("metri potenssiin 7", näin leikillisisti, tuntui pelottavalta) ja siirryin sen sijaan yhteenlaskuun. Esimerkiksi, jos jänteitä on 6, on niiden pituuksien neliöiden summa 14.
Tämä johti seuraavaan:
"Jos ympyrän kehällä on pisteitä tasavälein, välinä 2pi/n (kaaren asteluku, n=2,3,...), niin pisteiden x-koordinaattinen summa = 0 ja pisteiden y-koordinaattien summa = 0."
Pikaisen kokeilun jälkeen tämä näyttäisi pätevän aloituspisteestä riippumatta. Mutta jos aloituspiste on (1, 0), näkee kuvasta selvästi, kuinka y-koordinaatit kumoavat toisensa. Samoin x-koordinaateilla, jos n on parillinen (x = cos pi on mukana). Mutta tapaus, jolloin n on pariton on minulle ongelma. Kyse on siis summasta summa(cos(k*2*pi/n),k,0,n-1).
Esimerkiksi, kun n = 7, saadaan yhteenlaskettaviksi
a0 = 1
a1 = 0.62349
a2 = −0.222521
a3 = −0.900969
a4 = −0.900969
a5 = −0.222521
a6 = 0.62349,
nolla tulee, kyllä, ja lisäksi a1+a2+a3=-0.5 (tasan, ilmeisesti) ja a4+a5+a6=-0.5 (tasan).
Muissa tapauksissa (kosinisumma parillisilla tai sinisumma yleensä) termit kumoutuvat pareittain).
Jos muutan aloituspisteeksi (0, 1), ongelma kääntyy, nyt y-summa on parittomilla ongelma. Samalla toiveeni todistaa tuo väite "neliöiden summa = 2n" kariutuu, koska (0,1):stä lähtevillä jänteillä koulukaava "pisteiden välisen janan pituus" johtaa juuri tuohon sinisummaan, kun taas (1, 0):sta lähtevillä kaipaan kosinisummaa.
Tuo tulos siitä, että jopa aloituspisteestä riippumatta summat ovat nollia, on sen verran hätkähdyttävä, että siitä olisi mukava saada lisää tietoa. Jotenkin on tunne, että tässä ollaan aivan ympyrän ytimessä.
sum(sin(k*2*pi/n+alfa),k,0,n-1) = 0
sum(cos(k*2*pi/n+alfa),k,0,n-1) = 0
t. Heikki H.
Heikki H:lle
Kyllä se näin on, pituuksien neliöiden summa on 2n ja sinien ja kosinien summat = 0 alkupisteestä riippumatta. Todistuskaan ei ole kovin hankala, kun käytetään kompleksista eksponenttifunktiota, ts. ympyrällä olevat pisteet ovat exp(2*k*pi*i/n). Sinit ja kosinit kannattaa laskea summeeraamalla eksponenttifunktiota, jolloin syntyy geometrinen summa.
Lähetä kommentti