Tammikuun blogissani (11.1.2024) esittelin American Mathematical Societyn seinäkalenteria ja muun ohella joulukuun 30. päivän geometrista tehtävää. Tässä oli annettuna neliö alaltaan 60 yksikköä ja annetulla geometrisella konstruktiolla muodostettiin neliö, jonka ala piti määrittää. Tehtävän teki tavallisuudesta hieman poikkeavaksi 60 yksikön neliön asento, jota ei kiinnitetty, vaan sitä voitiin kiertää vapaasti nurkkapisteensä ympäri.
Kalenterin tehtävien vastauksena on (useimmiten) kyseisen päivän numero, tässä siis 30. Ongelmana varsinaisesti on, miten tulos voidaan laskea tai päätellä, ja mitä erilaisia vaihtoehtoja tähän on. En tuolloin ryhtynyt itse miettimään asiaa. Myöhemmin kokeilin, miten GeoGebra taipuu ongelman käsittelyyn, ja hyvinhän se onnistui: lähtökohtana olevaa neliötä saattoi kiertää, ja kysytty ala oli aina 30 yksikköä. Neliön kokoa saattoi myös suurentaa, ja pinta-alojen suhde oli aina 2.
Tehtävän saattoi siis ratkaista GeoGebralla. Voidaan tietenkin keskustella siitä, onko tämä hyväksyttävä tapa, koska ratkaisu on tehty tietokoneella, joka vieläpä on laskenut asiat numeerisesti. Tietokoneen voi kuitenkin panna laskemaan laskut symbolisesti ja ns. tarkoilla arvoilla, jolloin päättelystä tulee periaatteessa pätevä. Kyse onkin siitä, mihin kaikkeen tietokonetta saa matematiikassa käyttää. Opetuksellisista tai muista syistä eri yhteyksissä voi olla erilaisia vaatimuksia. 
Käsin laskettaessa tarvittava algebra on aika yksinkertaista. Jos piste $O$ on origo, pisteen $B'$ koordinaatit ovat $(z,z)$, vihreän lähtökohtaneliön sivun pituus on $s$ ja kiertokulma $t$, niin pisteen $A'$ koordinaatit ovat \[(z + s\cos(t), z + s\sin(t)).\] Punaisen neliön keskipisteen $K$ koordinaatit ovat puolet näistä. Nämä ovat myös vektorin $\vec{OK}$ komponentit ja vektorin $\vec{KA}$ komponentit saadaan vaihtamalla järjestys ja jälkimmäisen merkki. Pisteen $A$ koordinaatit saadaan vektorisummasta $\vec{OK} + \vec{KA}$: \[(z + s(\cos(t)+\sin(t))/2,-s(\cos(t)-\sin(t))/2).\] Jäljellä on saadun pisteen $A$ ja pisteen $B = (z,0)$ etäisyyden laskeminen. Sievennyksen jälkeen tulokseksi tulee $s/\sqrt{2}$.
Tehtävä on kuitenkin tyypiltään sellainen, että sen luontevin ratkaisu ainakin vielä puoli vuosisataa sitten olisi ollut puhtaan geometrinen. Jukka Liukkonen kommentoi minulle sähköpostissa ratkaisua tästä näkökulmasta. Edellä oleva kuvio (johon olen lisännyt pisteen $K$) on hänen käsialaansa. Oleellista tällaisissa geometrisissa ratkaisuissa usein on sopivan apupiirroksen löytäminen. Tässä tapauksessa apupiirroksen muodostavat mustalla viivalla piirretyt kolmiot $OA'B'$ ja $OAB$. Näissä kulmat $A'OB'$ ja $AOB$ ovat yhtä suuret, koska niiden vasempien kylkien välinen kulma on $45^\circ$ neliön sivun ja lävistäjän välisenä kulmana, ja sama koskee oikeiden kylkien välistä kulmaa. Sivujen $OA'$ ja $OA$ välinen suhde on $\sqrt{2}$ neliön lävistäjän ja sivun suhteena. Sama koskee sivuja $OB'$ ja $OB$. Tällöin kolmiot ovat yhdenmuotoiset ja kolmansien sivujen $A'B'$ ja $AB$ suhde on myös $\sqrt{2}$.
Tehtävän ratkaisemiseen on siis tarjolla kolme eri tapaa: ohjelmiston käyttö, algebra (lausekkeiden manipulointi) ja geometria (Eukleideen tapaan). Mikä näistä on paras?
Olen joskus esittänyt, että koulumatematiikan tavoitteet pitäisi pohtia uudelleen. Sen jälkeen harkita sisällöt ja luoda esitystavalle johdonmukainen punainen lanka. Matematiikka on kumulatiivista eikä detaljikokoelma. Edellä esitetyt ratkaisuvaihtoehdot nostavat esiin erilaiset vaihtoehdot tavoitteiden asettelussa. Oleellista ei ole miettiä parasta vaan sitä, millaisesta näkökulmasta matematiikka halutaan esittää.
Ohjelmiston käyttö painottaa ennen kaikkea tietotekniikan käyttöä. Yleinen kyky tulla toimeen erilaisten ohjelmistojen kanssa onkin epäilemättä hyödyksi riippumatta siitä, onko kyseessä edes matematiikka. On opittava jotakin yleisempää kuin tietyn ohjelmiston tietyt yksityiskohdat. Matematiikkaohjelmistot antavat myös mahdollisuuden tarkastella matemaattisia ongelmia eri näkökulmista ja luoda erilaisia havainnollistuksia. Oleellista on tutkivan asenteen syntyminen. Ohjelmiston pintapuolinen käyttö — kuten esimerkissä — ei kuitenkaan paljoa opeta. Kyseessä ei oikeastaan ole matematiikka lainkaan, eikä yleisempää näkemystäkään synny.
Algebrallinen näkökulma painottaa matematiikan työkaluluonnetta. Tavoitteena on oppia algoritmeja ja menettelyjä ongelmien ratkaisemiseen. Huonoimmillaan tämä tarkoittaa standarditehtäviin keskittymistä ja niiden ulkoa opettelua, parhaimmillaan työkalupakin muodostamista ja kykyä poimia sieltä eri yhteyksiin ehkä sopivia työkaluja. Näihin kuuluu myös laskentaohjelmien käyttö ja ohjelmointi. Edellytyksenä on tieto lukuisista asioista, ymmärrys erilaisista lausekkeista ja kyky niiden käsittelyyn. Todelliset reaalimaailman tehtävät ovat yleensä laajoja ja vaikeita. Tyytyminen yksinkertaistettuihin versioihin kuitenkin johtaa herkästi kieroutuneeseen näkökulmaan: triviaalit tehtävät, mutta monipuoliset työkalut, joiden luonnetta ei opita ymmärtämään.
Euklidisen geometrian perusidea on johtaa päättelyllä geometrisia tuloksia lähtemällä yksinkertaisista perusoletuksista. Matemaattisen päättelyn idea painottuu. Ongelmat ovat avoimia: on mietittävä, mitä kaikkea on tarjolla ja mitä siitä voisi seurata. Tarvitaan jonkinlaista luovaa ajattelua enemmän kuin algebrallisessa työkalupakissa. Avoimuus tekee myös lähestymistavasta vaikean: Deduktiivisen päättelyn idea ei välttämättä aukea. Ei aina ole myöskään helppoa keksiä rakennetta tai kuviota, joka laukaisee ongelman. Toisaalta tietty määrä geometristen kuvioiden alkeisominaisuuksia kuulunee yleissivistykseen. Asioita voi havainnollistaa sopivalla piirtelyohjelmalla.
Edellä esitetty tehtävä tarjoaa yhden esimerkin näkökulman pohdiskeluun. Itse asiassa kaikkia näkökulmia tarvitaan, mutta minkä ajatuksen varaan matematiikan opetus kannattaisi rakentaa? Vielä puoli vuosisataa sitten geometrialla oli merkittävä osuus. Miten nyt?
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti