Netti, Pythagoras ja CAS

(CAS = Computer Algebra System, symbolinen laskentaohjelma)

Olen aina silloin tällöin pannut selaimen kirjanmerkeiksi matemaattisesti kiinnostavia verkkosivuja. Usein nämä ovat enemmän tai vähemmän irrallisia yhteen asiaan keskittyviä tekstejä tai havainnollistuksia. Toki löytyy myös isompia kokonaisuuksia käsitteleviä dokumentteja ja sähköisessä muodossa olevia oppikirjojakin.

Lyhyet tekstit ja havainnollistukset yleensä edellyttävät jonkinlaisia perustietoja asiasta, mutta saattavat tämän jälkeen avata uusia näköaloja. Ovat hyödyllisiä ja hauskoja vaikkapa opettajalle tai oppikirjantekijälle.

Alexander Bogomolnyn luoma sivusto Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles, tuttavallisemmin Cut the Knot, tarjoaa paljon muun ohella katsauksen Pythagoraan lauseeseen: 122 erilaista todistusta (https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/). Joukossa tietenkin tavanomaiset oppikirjoissa esiintyvät, mutta myös paljon muuta. Ehkä kiintoisimmasta päästä on epäsuora todistus:

Lähtökohtana on tavanomainen suorakulmaisen kolmion jako kahteen yhdenmuotoiseen suorakulmaiseen kolmioon alla olevan kuvan mukaisesti.

Pythagoraan väittämän vastaoletus on $a^2 + b^2 \neq c^2$, esimerkiksi siis $a^2 + b^2 < c^2$.

Ison kolmion ja vasemmanpuolisen osakolmion yhdenmuotoisuuden perusteella on $a = sx$, $b = sh$ ja $c = sa$, missä $s$ on verrannollisuuskerroin. Vastaoletuksesta seuraa tällöin $s^2 x^2 + s^2 h^2 < s^2 a^2$ ja siis $x^2 + h^2 < a^2$. Oikeanpuoliselle osakolmiolle pätee vastaavasti $h^2 + y^2 < b^2$. Yhdenmuotoisuuden perusteella on myös $y/h = h/x$ eli $h^2 = xy$. Nyt voidaan arvioida seuraavasti: \[ a^2 + b^2 > (x^2 + h^2) + (h^2 + y^2) = x^2 + y^2 + 2h^2 = x^2 + y^2 + 2xy = (x + y)^2 = c^2. \] Siis $a^2 + b^2 > c^2$, mikä on ristiriidassa lähtökohtana olevan vastaoletuksen kanssa.

Jos olisi  $a^2 + b^2 > c^2$, päädyttäisiin samalla tavoin ristiriitaan $a^2 + b^2 < c^2$. Ainoaksi mahdollisuudeksi siis jää $a^2 + b^2 = c^2$.

Uudet näkökulmat herättävät usein pohtimaan asiaa enemmänkin. Edellä oleva epäsuora todistus viittaa minusta mahdollisuuteen todistaa Pythagoraan lause myös algebrallisesti yhdenmuotoisuuksiin perustuen. Kolmioiden yhdenmuotoisuuksista saadaan ehdot \[a = sx, b = sh, c = sa, a = th, b = ty, c = tb,\] missä $s$ ja $t$ ovat verrannollisuuskertoimia. Kun mukaan liitetään hypotenuusan paloitteluehto $x + y = c$, suorakulmainen kolmio on algebrallisesti karakterisoitu. Seuraako tästä sitten ehto $a^2 + b^2 = c^2$? Voidaanko yhtälöryhmästä eliminoida $x$, $y$, $h$, $s$ ja $t$, jolloin ehkä jäisi jäljelle jotakin symboleja $a$, $b$ ja $c$ koskevaa?

Eliminointi onnistuu käsinlaskulla helposti (voisi sopia ylioppilastehtäväksi), mutta usein CAS-ohjelmistoista löytyy myös valmis eliminointityökalu. Kuvassa on Mathematican suoritus:

Ehdoista siis seuraa Pythagoraan väittämä.

Pythagoraan lause pätee myös käänteisesti: Jos kolmion sivuille pätee $a^2 + b^2 = c^2$, niin kolmio on suorakulmainen. Voitaisiinko tämäkin todistaa jotenkin algebrallisesti?

Olkoon oheisen kuvion mukaisesti $D$ jokin piste sivulla $AB$, jonka pituus on $c$. Onko mahdollista valita $D$ siten, että kolmiot $BDC$, $CDA$ ja $BCA$ ovat yhdenmuotoiset, jos ehto $a^2 + b^2 = c^2$ on voimassa? Toisin sanoen: Onko yhtälöryhmällä \[a = sx, b = sh, c = sa, a = th, b = ty, c = tb, x + y = c\] ehdon voimassa ollessa ratkaisua, kun tuntemattomia ovat verrannollisuuskertoimet $s$ ja $t$ sekä $x$, $y$ ja $h$? Käsinlaskukin sujuu, mutta CAS-ohjelmistosta saattaa löytyä valmis työkalu:

Ratkaisu todellakin löytyy. (Kuvassa Mathematica ei anna heti sievintä muotoa, vaan tarvitaan erillinen sievennyskomento, jossa uudelleen ilmoitetaan oletuksena oleva ehto.) Jos piste $D$ valitaan tämän mukaisesti, ovat kolmiot $BDC$, $CDA$ ja $BCA$ yhdenmuotoiset. Vastinkulmina $BDC$, $CDA$ ja $BCA$ ovat yhtä suuret ja niiden on silloin oltava suoria kulmia. Kolmio $ABC$ on siis suorakulmainen.

Lukija saattaa kysyä, eikö edellä mainitulla yhtälöryhmällä sitten ole ratkaisua, jos Pythagoraan ehto ei ole voimassa. Geometrinen intuitio ehkä sanoisi, että ei ole. Näin onkin (nollaratkaisua lukuunottamatta) ja myös polynomialgebralla asia voidaan osoittaa. CAS-ohjelmista saattaa löytyä sopiva työkalukin, Mathematicalla komento Reduce.