Matematiikan ja sen opettamisen kumulatiivisuudesta

Eräs reaaliluku

Yliopistotason kurssi matemaattisesta analyysista — differentiaali- ja integraalilaskennasta — alkaa usein reaalilukujen aksioomilla. Periaatteellisena ajatuksena on rakentaa analyysi näiden päälle: muodostetaan uusia käsitteitä, asetetaan määritelmiä ja todistetaan lauseita vetoamalla vain aksioomiin tai niiden avulla aiemmin muodostettuihin rakenteisiin. Tämä kuitenkin jää hyvin periaatteelliseksi. Jo yksinomaan epäyhtälön $1 > 0$ todistaminen huolellisesti aksioomiin vedoten on monivaiheinen prosessi. On siis pakko luottaa siihen, että opiskelijat ovat koulussa hankkineet lujan ja toivottavasti oikeanlaisen uskon reaalilukuihin.

Analyysin kurssi voitaisiin tietenkin aloittaa hieman kauempaakin. Voitaisiin ottaa lähtökohdaksi Peanon aksioomien avulla määritellyt luonnolliset luvut ja rakentaa näiden avulla ensin kokonaisluvut, sitten rationaaliluvut ja näiden avulla lopuksi reaaliluvut. Prosessi on aika pitkä ja raskas eikä kovin mielenkiintoinen. Tosin reaalilukujen konstruointi joko Dedekindin leikkausten tai Cauchyn jonojen avulla kertoo ajattelevalle opiskelijalle jotakin olennaista reaaliluvuista. Jos taas ei jää pohdiskelemaan, prosessi on erittäin tylsä. Opetuksen kannalta ongelmana on, että opiskelija jo osaa laskea luvuilla yleensä varsin hyvin, joten miksi tuhlata aikaa pohdiskeluihin.

Puhdasoppinen matemaatikko ei tyytyisi luonnollisiin lukuihinkaan, vaan aloittaisi joukko-opin aksiomatiikasta.

Mitä koulussa sitten pitäisi kertoa reaaliluvuista? Ainakin jotakin, mikä luo lujan uskon niihin ja antaa pääpiirteissään oikean ymmärryksen. Ehkä enemmän kulttuurihistorian puolelle menee kertomus pythagoralaisista, joille ihmetyksen ja hämmennyksen aiheena oli päättely, joka osoitti, että tasakylkisen suorakulmaisen kolmion kateetin ja hypotenuusan pituutta ei voida tasan mitata samalla mittatikulla, olipa tämä miten lyhyt tahansa. Seurauksena tulee todetuksi, että $\sqrt{2}$ ei ole rationaaliluku, kuten asia meidän aikanamme ilmaistaan. Pohtimisen arvoista on myös, onko $0.99999\dots = 1$. Yleensä ei pidetä selvänä, että vastaus on myönteinen.

Koulutasolla reaaliluvuista riittäneekin mielikuva, että jos on jotakin, jolle voidaan laskea yhä tarkempia likiarvoja (tai jopa täsmällinen arvo), niin tämä jokin on olemassa ja sitä kutsutaan reaaliluvuksi. Tällainen mielikuva menee varsin lähelle Cauchyn jonojen ideaa (mitä ei tarvitse koululaisille kertoa).

Tämän jälkeen tie on auki funktioiden jatkuvuuteen, raja-arvoihin, differentiaali- ja integraalilaskentaan.  Joissakin kohdissa kuitenkin tulee ongelmia. Esimerkiksi Bolzanon lause — jos jatkuva funktio vaihtaa merkkiään suljetulla välillä, niin välillä on ainakin yksi nollakohta — saa usein tarpeettoman juhlallisen sävyn.  Asiahan on selviö, jos jatkuvuus mielletään vain kuvaajan yhtenäisyytenä. Kuitenkaan lause ei päde, jos tarkastelu rajoitetaan rationaalilukuihin. Reaaliluvut rationaaliluvuista erottavan täydellisyysaksiooman täytyy siis olla lauseen kannalta oleellinen.

Pitävän todistuksen esittäminen Bolzanon lauseelle ei siten ole mahdollista, jos käsitys reaaliluvuista perustuu lujaan uskoon, eikä tätä koulutasolla onneksi yritetäkään. Tiukkaan kumulatiivisuuteen jää aukko ja se voisi olla hieman isompikin: Bolzanon lausetta voisi pitää selviönä antamatta sille edes nimeä. Ajattelevaisen lukiolaisen ei tarvitsisi ihmetellä, mikä lauseesta tekee juhlallisen. Vielä enemmän ajattelevaiselle voi sitten kertoa reaaliluvuista syvemmin.

Alkeisfunktioiden (potenssit, eksponenttifunktio, trigonometriset funktiot, näiden käänteisfunktiot sekä näistä peruslaskutoimituksilla ja funktioiden yhdistämisellä saatavat funktiot) kohtuullisen tarkkaan kumulatiiviseen määrittelyyn on syytä kiinnittää huomiota eikä vain antaa valmiita kaavoja tai tuloksia.  Funktioistahan koululainen jo jotakin tietää laskimen näppäinhattujen tai tietokoneen käytön perusteella, mutta määrittelyprosessi kertoo jotakin oleellista matematiikan luonteesta.

Tietyn alkeisfunktion määrittelyyn voi olla useita teitä. Eksponenttifunktio on tästä hyvä esimerkki:

1) Lähtökohdaksi voidaan ottaa, että kyseessä on potenssi, jossa hieman mystillisesti määritelty luku \[e = \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n\] korotetaan muuttujan $x$ ilmaisemaan potenssiin. Tätä varten on ymmärrettävä, mitä tarkoittaa raja-arvo ja miten potenssit määritellään, kun eksponentti on kokonais-, rationaali- tai irrationaaliluku.

2) Voidaan myös antaa määritelmä muuttujasta riippuvana raja-arvona: \[\exp(x) = \lim_{n \to \infty} (1+\frac{x}{n})^n.\] Raja-arvon olemassaolon lisäksi ongelmana on potenssin laskusääntöjen osoittaminen: $\exp(x)\exp(y) = \exp(x+y)$ jne.

3) Voidaankin ensin määritellä käänteisfunktio: \[\ln(x) = \int_1^x \dfrac{dt}{t}.\] Tämän käänteisfunktio on $\exp(x)$. Tarvitaan tieto integraalin määrittelystä ja olemassaolosta, kun integroitavana on jatkuva funktio. Lisäksi on pääteltävä käänteisfunktion olemassaolo. Potenssin laskusäännöt on osoitettava.

4) Myös sarjamäärittely on mahdollinen: \[\exp(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}.\] Täytyy osoittaa, että sarja suppenee ja että potenssin laskusäännöt ovat voimassa.

Mikään näistä teistä ei ole aivan helppo, vaan joudutaan vetoamaan aiemmin esitettyihin käsitteisiin ja tuloksiin. Kumulatiivisuus on oleellista ja jollakin tavoin tähän haasteeseen täytyy opetuksessa vastata, vaikka kaikkia yksityiskohtia ei ehkä voidakaan — tasosta riippuen — huolellisesti käsitellä.  Matematiikan kumulatiivisen luonteen tulee näkyä, jotta mielikuva ei jää kaavakokoelman ja laskinohjelman tasolle.

Mikä edellä olevista eksponenttifunktion määrittelytavoista sitten on paras? Ei tähän ole vastausta.  Riippuu yhteydestä ja varmaan myös opettajan mieltymyksistä.