Palloharmoniaa heinäkuun ratoksi

Ajauduin kesäkuulla keskustelemaan kollega Hannu Korhosen kanssa pallogeometriasta ja samalla pohtimaan palloharmonisia funktioita, englanniksi spherical harmonics. Näihinhän johdutaan ratkaistaessa pallokoordinaateissa Laplacen differentiaaliyhtälöä \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0, \] tuntemattomana funktiona $u(x,y,z)$. Pallokoordinaateissa yhtälö saa hieman hankalamman muodon \[ \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 u}{\partial \phi^2} = 0 \] ja tuntemattomana funktiona on $u(r,\theta,\phi)$. Käytössä ovat ns. fysikaaliset pallokoordinaatit: etäisyys origosta $r$ ($\ge 0$), leveysaste $\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$, pohjoisnapa $0$, päiväntasaaja $\pi/2$, etelänapa $\pi$) ja pituusaste $\phi$ ($-\pi < \phi \le \pi$).

En ryhdy esittelemään, miten yhtälön ratkaisu tapahtuu, viittaan vain esimerkiksi dokumenttiin http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph116C/SphericalHarmonics_12.pdf tai ranskantaitoisille https://www.phy.ulaval.ca/fileadmin/phy/documents/PDF/Pedago/Harm-Sphervf.pdf.  Tietyssä vaiheessa ratkaisuun ilmestyvät funktiot $Y_\ell^m(\theta,\phi)$, joille saadaan melko yksinkertaiset lausekkeetkin ja joita kutsutaan palloharmonisiksi funktioiksi. Näitä pyritään havainnollistamaan kuvilla, jotka samankin funktion kohdalla näyttävät hyvin erilaisilta.

Alla on esimerkkeinä kaksi funktiota: \begin{align*} Y_4^0(\theta,\phi) &= \frac{3}{16}\sqrt{\frac{1}{\pi}}\left(3 - 30\cos^2\theta + 35\cos^4\theta\right), \\ Y_5^3(\theta,\phi) &= \frac{1}{32}\sqrt{\frac{385}{\pi}}\sin^3\theta\left(1 - 9\cos^2\theta\right)\exp(3i\phi).  \end{align*} Jälkimmäinen on kompleksiarvoinen ja alla olevat kuvat koskevat sen reaaliosaa.  Lisää lausekkeita löytyy osoitteesta https://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_spherical_harmonics, kuvia Googlen kuvahausta termillä 'spherical harmonics'.

Funktioiden tavanomaisin havainnollistus on alla. Hieman harvinaisempi on alapuolella oleva.

Ylempi on minusta hieman yllättävä: äkkiseltään katsoen pallomaisuus ei oikein hahmotu. Alempi on selkeämpi: pallopinnalle on kuvattu alueet, joissa funktio saa positiivisia arvoja (punainen) ja negatiivisia arvoja (keltainen). Mitä voimakkaampi väri, sitä isompi itseisarvo. Ylemmässä on kyllä periaatteessa sama informaatio: lähtemällä origosta suuntaan $(\theta,\phi)$ kohdataan pinta etäisyydellä, joka vastaa funktion itseisarvoa. Väri kertoo positiivisuuden tai negatiivisuuden.

Jälkimmäinen vaihtoehto sai minut kehittelemään hieman toisenlaisen havainnollistuksen: harmaa läpikuultava referenssipallo, jonka sisä- ja ulkopuolella funktion määräämä pinta aaltoilee. Etäisyys pallosta määräytyy funktion arvosta: positiivinen ulospäin pallopinnasta, negatiivinen sisäänpäin.  Rinnastus Fourier'n sarjan sini- ja kosinitermeihin on ilmeinen.

Hakemisen jälkeen vastaava kuva löytyi kyllä netistäkin, joten ei tämä ainutlaatuinen idea ole.

Olisiko tästä jotakin yleistä opittavaa? Matemaattisia olioita voi havainnollistaa monella tavalla.  Ainoaa oikeaa tapaa ei ole. Havainnollistuksen arvon ratkaisee, miten hyvin siitä näkyy tutkittavana oleva asia. Kuvat eivät matematiikassa sinänsä ole pahasta. Joskus hyvä kuva tai animaatio kelpaa jopa todistukseksi.