\[ -1 = i \cdot i = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1} = +1 \] herättää aina toisinaan ihmetystä. Koska tunnetusti $-1$ ja $+1$ eivät ole sama asia, niin jonkin yhtäläisyysmerkin täytyy olla väärä. Mutta mikä?
Vastaus riippuu siitä, mitä neliöjuurella tarkoitetaan. Ainakin vielä puoli vuosisataa sitten kouluissa opetettiin, että neliöjuurella on kaksi arvoa, esimerkiksi $\sqrt{4} = \pm 2$. Sittemmin on yleistynyt määrittely, että neliöjuuri tarkoittaa aina positiivista vaihtoehtoa: $\sqrt{4} = +2$. Aiemman määritelmän mukaan neliöjuuri ei kaksiarvoisena ole funktio siinä mielessä, kuin funktioita nykyään yleensä ajatellaan. Jälkimmäisessä määrittelyssä on kyse funktiosta, jota selvyyden vuoksi ehkä kannattaisi kutsua juurifunktioksi tai neliöjuuren päähaaraksi.
Asiasta tulee hieman mutkikkaampi, jos tarkastellaan kompleksilukujen neliöjuuria. Esimerkiksi sekä luvun $-2+i$ että luvun $2-i$ toinen potenssi on $3-4i$. Kumpi olisi oikeutetummin $\sqrt{3-4i}$ ?
Luontevaa onkin joko ajatella neliöjuurta kaksiarvoisena (ja yleisemmin $n$:ttä juurta $n$-arvoisena) tai kiinnittää toinen (tai $n$:nnen juuren tapauksessa jokin) arvoista päähaara-arvoksi. Kumpi on parempi, riippuu yhteydestä. Molempia käytetään. Laskentaohjelmat käyttävät päähaara-arvoa, jolloin neliöjuuri on funktio. Neliöjuuren päähaara valitaan tällöin siten, että juuren napakulma on välillä $]-\pi/2,\pi/2]$, ts. reaaliosa on positiivinen. Jos reaaliosa on $= 0$, tulee imaginaariosan olla positiivinen (jolloin napakulma on $\pi/2$, ei $-\pi/2$). Siten esimerkiksi $\sqrt{-1} = i$ (eikä $-i$). Määrittely antaa positiivisten reaalilukujen neliöjuurille positiiviset arvot, kuten pitääkin.
Vastaavaan tapaan valitaan $n$:nnen juuren päähaara, mutta tilanne on hieman mutkikkaampi. Lukija voi katsoa vaikka dokumenttia http://matta.hut.fi/matta/kompleksiluvut/cluvut.pdf.
Mikä alkuperäisen laskun yhtäläisyysmerkeistä sitten on väärä? Jos neliöjuurta ajatellaan kaksiarvoisena, pitäisi lopussa olla $\sqrt{1} = \pm 1$ ja kahdesta mahdollisesta merkistä pitäisi valita sopiva, ts. miinus. Jos neliöjuuren merkki tarkoittaa päähaaran mukaista funktiota, on keskimmäinen yhtäläisyysmerkki väärä. Yleisesti ei nimittäin päde $\sqrt{z_1}\sqrt{z_2} = \sqrt{z_1z_2}$. Kaikki tavanomaiset laskusäännöt eivät siirrykään rajoituksitta kompleksialueelle.
Esimerkkinä Mathematicalla tehty lasku, jonka voi toki laskea helposti käsinkin:
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti