Pallon pyöreydestä

Pallo GeoGebralla tehtynä

Pallon piirtäminen sujuu nykyisissä kolmiulotteisuutta tukevissa geometriaohjelmistoissa vaivatta. Oheinen kuvio on tehty GeoGebralla ja pallon ääriviiva näkyy ympyränä, kuten kaiketi pitääkin.

Kynä ja paperi -aikaan kolmiulotteisia kuvioita piirrettiin kaksiulotteiselle paperille usein ns. kavaljeeriprojektiota (kavaljeeriperspektiiviä) käyttäen. Tällöin paperi ajatellaan yz-tasoksi ja x-akseli on alunperin sitä vastaan kohtisuorassa. Sen ajatellaan kuvautuvan 45 asteen kulmaan alavasemmalle siten, että yksikönpituus on puolet y- ja z-akselien yksikönpituudesta. Tällöin kaikki yz-tason suuntaiset tasokuviot kuvautuvat kokonsa ja muotonsa säilyttäen.

Pallon konstruktio kavaljeeriprojektiossa (itse asiassa hieman tästä poikkeavaa ns. ruutumenetelmää käyttäen)

Pallon kuva kavaljeeriprojektiossa voidaan siten hahmotella leikkaamalla palloa yz-tason suuntaisilla tasoilla. Leikkauskuviot ovat ympyröitä ja ne siis kuvautuvat kokonsa ja muotonsa säilyttäen. Jos pallon keskipiste on origossa, ympyröiden keskipisteet ovat x-akselilla ja helposti löydettävissä. Leikkausympyröiden kuvat voidaan siten piirtää harppia käyttäen, kuten oheisessa kuviossa on tehty. Oikeanpuolinen ympyrä on apukonstruktio leikkausympyröiden säteiden määrittämistä varten. Pallon ääriviiva saadaan leikkausympyröiden kuvien verhokäyränä, ts. käyränä joka sulkee sisäänsä kaikki ympyrät. Tätä ei ole kuvioon piirretty, mutta se hahmottuu helposti, kun vihreät leikkausympyrät ovat riittävän tiheässä.

Verhokäyrä näyttää kuitenkin olevan hieman elliptinen ja pallo venähtänyt x-akselin suunnassa. Tämä näkyy punaisesta ympyrästä, joka ympäröi pallon kuvaa. Eikö pallon ääriviiva siis olekaan ympyrä?

Tässä tapauksessa se ei ole ympyrä vaan ellipsi, mikä johtuu siitä, että kavaljeeriprojektio on vino projektio. Yleinen yhdensuuntaisprojektio syntyy siten, että kiinnitetään kuvataso ja projektiosäteiden suunta. Pisteen kuva saadaan asettamalla suora — projektiosäde — pisteen kautta ja hakemalla tämän ja kuvatason leikkauspiste. Selvää on, että projektiosäteet eivät saa olla kuvatason suuntaisia. Luontevinta on, että ne ovat kuvatasoa vastaan kohtisuoria, jolloin puhutaan ortogonaaliprojektiosta. Ne voivat kuitenkin olla vinossa asennossa kuvatasoon nähden, jolloin projektion sanotaan olevan vino.

3D-geometriaohjelmistot tekevät oletuksena ortogonaaliprojektiokuvia, kuten luonnollista onkin. Aikoinaan käytettiin kavaljeeriprojektiota, koska tällöin käsin piirtämisestä tuli melko helppoa: yz-tason suuntaiset kuviot kuvautuivat sellaisinaan.

Millaisia yhdensuuntaisprojektiot — ortogonaaliset tai vinot — sitten voivat olla? Erään vastauksen antaa ns. Pohlken lause: Jos piirretään kolme samasta pisteestä $O$ lähtevää sädettä ja asetetaan jokaiselle yksi piste, $E_x$, $E_y$, $E_z$, niin nämä ovat positiivisten (suorakulmaisten) koordinaattiakseleiden $x$, $y$ ja $z$ kuvat eräässä yhdensuuntaisprojektiossa ja pisteet $E_x$, $E_y$, $E_z$ ovat yksikköpisteiden $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$ kuvat. Edellytyksenä on, että pisteet $O$, $E_x$, $E_y$ ja $E_z$ eivät kaikki ole samalla suoralla. (Lisätietoja kirjoittajan kirjoista Perspektiivikuvan geometriset perusteet ja Vaellusretkiä matematiikkaan.)

Pohlken kuvio, ts. suorakulmaisen avaruuskoordinaatiston kuva eräässä yhdensuuntaisprojektiossa

Karl Wilhelm Pohlke (1810-1876) oli saksalainen taiteilija ja geometrikko, joka esitti lauseen 1860, mutta ei liene todistanut sitä. Todistuksen esitti Hermann Amandus Schwarz 1864.

Pohlken lauseen mukainen yhdensuuntaisprojektio on joko ortogonaalinen tai vino. Kummasta on kyse, on selvitettävissä hieman yllättävällä kriteerillä: Asetetaan piste $O$ kompleksitason origoksi ja tulkitaan pisteet $E_x$, $E_y$ ja $E_z$ kompleksiluvuiksi $z_1$, $z_2$ ja $z_3$. Kyseessä on ortogonaaliprojektio, jos ja vain jos $z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = 0$. En oikein osaa sanoa, onko tässä jotakin syvällistä, vai onko kyseessä pikemminkin sattuma, mitä se tässä yhteydessä sitten tarkoittaisikin.