Keskuskadun Penrose

Helsingin Keskuskatu laatoituksineen alkaa olla valmis, kuten Helsingin Sanomat uutisoi 6.8.2014. Laattakuviota kutsutaan Penrosen laatoitukseksi englantilaisen matemaatikon ja fyysikon, Sir Roger Penrosen (ks. esim. http://www.worldofescher.com/misc/penrose.html) mukaan. Kyseessä on matemaattisesti mielenkiintoinen kuvio, joka ansaitsee enemmänkin huomiota kuin Helsingin Sanomien jutun hieman ylimalkainen maininta mahdollisuudesta 'ratkoa geometrian ongelmia' laattakuvioiden avulla.

Penrosen laatoituksessa käytetään vain kahta erimuotoista laattaa.  Nämä yleensä tunnetaan nimillä leija (engl. kite) ja nuoli (dart).  Niitä on käsitelty myös kevään 2011 pitkän matematiikan ylioppilastehtävissä ja täsmällinen muoto kuvineen löytyy tehtäväpaperista (http://matta.hut.fi/matta/yoteht/k11p.pdf).

Laattoja sopivasti asettelemalla saadaan laatoitus, joka ei ole jaksollinen: Jos äärettömän suuren pinnan peittävästä laatoituksesta tehtäisiin kopio ja se siirrettäisiin mihin tahansa suuntaan minkä tahansa matkan alkuperäisen laatoituksen päällä, niin se ei yhtyisi tähän.  Tavalliset kylpyhuonelaatoitukset, jotka muodostuvat neliöistä tai kuusikulmioista tms. sen sijaan ovat selvästi jaksollisia.

Keskuskadun laatoitus antaa itse asiassa väärän kuvan Penrosen laatoista. Yllä olevaan Keskuskadulta otettuun kuvaan on rajattu kaksi leijalaattaa ja kaksi nuolilaattaa. Nuoli on koottu kolmesta erillisestä palasta, mikä rikkoo laatoituksen idean: oleellista on, että laatoitus koostuu mahdollisimman pienestä määrästä erilaisia laattoja. Syynä on saattanut olla kiven leikkaamisen vaikeus, jos yksi kulmista on yli 180 astetta.

Tiedekeskus Heurekan edustalla on oikeaoppinen Penrosen laatoitus, jossa laattoihin on myös uurrettu niiden yhteen sovittamisessa tarvittavat ympyrän kaaret. (Kuva http://www.gamepuzzles.com/kdtileipp25.jpg sivulla http://www.gamepuzzles.com/helsinki.htm.)

Penrosen laatoilla voidaan tarkoittaa myös toisenlaista laatoitusta, joka koostuu kahdesta suunnikkaan muotoisesta laatasta. Tämäkin on jaksoton.  Olen vuosia sitten tehnyt laatoista palapelin, joka koottiin jouluna olohuoneemme lattialle.

Kuvio voidaan myös tulkita päältäpäin katsotuksi kolmiulotteiseksi rakenteeksi, Wieringan katoksi. Tällöin se muodostuu vain yhdenlaisista suunnikkaista, jotka ovat erilaisissa kaltevuuksissa vaakatasoon nähden. Osoitteessa http://demonstrations.wolfram.com/PenroseTilingsAndWieringaRoofs/ on animaatio, jonka katsomiseen kuitenkin tarvitaan joko kaupallinen laskentaohjelma Mathematica tai ilmaiseksi saatava CDF Player (http://www.wolfram.com/cdf-player/).

Lisätietoja ja kuvia Penrosen laatoista löytyy moniltakin verkkosivuilta.  Ainakin kannattanee katsoa http://intendo.net/penrose/.