lauantai 22. helmikuuta 2014

Polaariteoriaa ja tietokonealgebraa

Olin vuonna 1991 Itävallan Oberlechissa IBM:n järjestämässä seminaarissa, jossa tarkasteltiin symbolisten laskentaohjelmien tarjoamia mahdollisuuksia ja jossa julkistettiin myös IBM:n parikymmentä vuotta jatkuneen Scratchpad-projektin tuotos, laskentaohjelma Axiom.

Axiomin oli tarkoitus olla aikakauden suurin ja kaunein, lähes kaiken abstraktinkin algebran kattava laskentatyökalu. Aivan tätä siitä ei tullut.  Axiom oli raskas, ja varsin pian Mathematica ja Maple ajoivat siitä ohi helppokäyttöisyydessä, joskaan ei kattavuudessa. Kaupallista menestystä ei tullut, ja joidenkin vuosien kuluttua IBM luopuikin Axiomista. Se on edelleen olemassa ja sen voi kopioida itselleen vapaasti (http://www.axiom-developer.org/).  Kehitystäkin lienee tapahtunut.

Oberlechin seminaarissa syötiin hyvin ja illallisilla puhuttiin varsin paljon asiaakin. Ehdotin eräänä iltana Axiomin sievennysalgoritmien testaamista seuraavalla polaariteoriaan liittyvällä ongelmalla.

Olkoon $c$ toisen asteen tasokäyrä, ts. kartioleikkaus, yhtälönä
\[
ax^2 + by^2 + 2cxy + 2dx + 2ey + f = 0
\]
ja $P = (x_0,y_0)$ jokin piste. Asetetaan $P$:n kautta suora $s$, joka leikkaa kartioleikkausta kahdessa pisteessä, $A$ ja $B$. Olkoon $Q$ sellainen suoran $s$ piste, että pisteet $P$ ja $Q$ jakavat janan $AB$ samassa suhteessa, toinen sisäpuolisesti ja toinen ulkopuolisesti. Kun suoraa $s$ käännetään pisteen $P$ ympäri, piste $Q$ liukuu pitkin suoraa $p$, jota kutsutaan pisteen $P$ polaariksi kartioleikkauksen $c$ suhteen.

Polaariteoriassa osoitetaan — itse asiassa varsin yksinkertaisesti — että polaarin yhtälö on
\[
ax_0 x + by_0 y + cx_0 y + cy_0 x + d x + e y + dx_0 + ey_0 + f = 0.
\]

Mikäli piste $P$ sijaitsee siten, että siitä voidaan asettaa tangentit käyrälle $c$, samaan tulokseen päästään alkeellisesti: määrätään tangenttien kulmakertoimet siten, että suoran $s$ ja käyrän $c$ leikkauspisteet yhtyvät, ts. vaaditaan, että syntyvän toisen asteen yhtälön diskriminantti on $= 0$. Tällöin saadaan määrätyksi sivuamispisteet $T_1$ ja $T_2$. Polaari on näiden kautta kulkeva suora.

Jos kertoimet ovat numeerisia, lasku on yksinkertainen. Jos tarkastellaan yleistä tapausta, jossa kertoimet ovat symboleja, lasku on vaativa. Kiintoisaa on, että se on pätevä myös, jos piste $P$ sijaitsee siten, että em. tangentteja ei voida asettaa. Kulmakertoimet ovat tällöin kompleksisia. Tällä tavoin tehtynä kyseessä on polaarin yhtälön johtaminen raa'alla voimalla.

Tätä lähdettiin koettamaan Oberlechin illallisen päätyttyä. Axiom oli tuolloin nuori ja luteinen, ja yritys päättyi systeemin kaatumiseen ennen kuin oli oikeastaan päästy edes alkuun. Ei siitä sen enempää. Kokeilin noihin aikoihin myös, miten Mathematica selviää tehtävästä. Ei selvinnyt ainakaan sinä aikana, jonka jaksoin odottaa.

Ongelma on kuitenkin mielestäni hyvä symbolisten laskentaohjelmien testaamiseen.  Paitsi vaativaa sieventämistä testissä paljastuu myös, miten helppoa ohjelmassa on käyttää edellisten laskuvaiheiden tuloksia seuraavien lähtötietoina syöttämättä niitä uudelleen. Jokin aika sitten mieleeni tuli kokeilla, olisiko Mathematica kehittynyt riittävästi runsaassa kahdessakymmenessä vuodessa. Ei mennyt kauankaan, kun oikea tulos tuli. Maailma on siis ainakin jossakin suhteessa tullut paremmaksi.

Minulla ei ole koneessani Axiomia tai Maplea, joten en pääse kokeilemaan niitä.  GeoGebrassakin on symbolilaskenta, mutta sen mahdollisuuksiin en oikein usko.  (Se on sen verran kömpelökin, että en jaksa kokeilla.) Jos joku haluaa testata näitä tai muitakin symbolilaskennan ohjelmistoja, odotan tuloksia mielenkiinnolla.

keskiviikko 5. helmikuuta 2014

Ovatko kaikki funktiot derivoituvia?

Tarkastin aikoinani matematiikan ylioppilaskokeita. Mieleeni on jäänyt paperi, jonka alkuun kokelas oli kirjoittanut 'Kaikki esiintyvät funktiot ovat jatkuvia ja derivoituvia.' Hän hoiteli kerralla perustelun, joka yleisen näkemyksen mukaan on ylioppilastehtävissä välttämätön. Useinhan ajatellaan, että pisteitä saattaa mennä, jos esimerkiksi jättää pois maininnan polynomin derivoituvuudesta. Ei lautakunta kuitenkaan pilkun viilausta aivan näin pitkälle vienyt. Opettajat olivat usein paavillisempia.

Kokelaan huomautuksesta olisi tietenkin oikeastaan pitänyt sakottaa.  Tehtävissä tarvittiin myös itseisarvoja, ja itseisarvofunktiohan ei ole derivoituva origossa. En kuitenkaan ryhtynyt viilaamaan pilkkuja.

Millainen käsitys sitten lukiolaisella on ja ylipäätään voi olla funktiosta, joka ei ole derivoituva? Itseisarvo varmaan sopii esimerkiksi, paloittan määriteltyjä funktioita on myös tarjolla. Funktio $x\sin(1/x)$ lienee jo harvemmin käsitelty. Tiedossa on yleensä vain esimerkkejä, jotka ovat selviä tapauksia ja sellaisina ongelmattomia. Paljonko sitten kannattaa tuhlata ruutia derivoituvuuden pohdiskeluun? Vai voitaisiinko todeta, että kaikki esiintyvät funktiot ovat derivoituvia mahdollisesti joitakin ongelmapisteitä lukuunottamatta?

Vaihtoehtona saattaisi olla jonkin kunnollisen patologisen esimerkin käsittely. Tällainen voisi olla vaikkapa Takagin funktio, jonka japanilainen matemaatikko Teiji Takagi (http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Takagi.html, http://en.wikipedia.org/wiki/Teiji_Takagi) esitti vuonna 1903. Funktion kuvaaja tunnetaan myös nimellä blancmange-käyrä, mutta blancmange ei ole matemaatikon nimi vaan syötävää (ks. vaikkapa http://www.berkshiredollshousecompany.com/acatalog/info-BDHFD00014.html).

Takagin funktio $t(x)$ ei ole missään derivoituva, vaikka se onkin jatkuva.  Se siis kelpaa patologiseksi esimerkiksi. Funktio määritellään seuraavasti:
\begin{align*}s(x) &= \min\{|x-n| \mid n \in \mathbb{Z}\}, \\t(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{s(2^k x)}{2^k}.
\end{align*}
Funktio $s$ on sahanteräfunktio ja funktion $t$ termit muodostuvat yhä tiheämpihampaisista sahanteristä.


Sarjan kolme ensimmäistä termiä
Takagin funktio

Vaikka yhä tiheämmiksi käyvät sahanterän kärkipisteet synnyttävätkin epäilyn siitä, että derivoituvuus saattaisi olla ongelmallinen, ei kuvaaja kuitenkaan kovin risaiselta näytä. Kaivataan siis tarkempaa analyysia ja todistusta. Ensinnäkin sarja täytyy todeta suppenevaksi ja sen rajafunktio jatkuvaksi. Tämän jälkeen joudutaan miettimään erotusosamäärän raja-arvoa mielivaltaisesti valitussa pisteessä $x$ ja näyttää, että tätä ei ole. Saattaisi olla vaikeanpuoleinen harjoitustehtävä yliopisto-opiskelijalle, mutta kuvia voi tietenkin katsella vähemmilläkin taidoilla.

Verkkolähteistä en todistusta ainakaan äkkiä löytänyt. Omassa hyllyssäni on saksalainen kunnianhimoinen Konrad Königsbergerin analyysin oppikirja, jossa todistus on, tosin hieman eri tavoin määritellylle funktiolle.  Ideana on tarkastella nollaa kohden suppenevaa sopivasti valittua jonoa $<h_n>$ ja osoittaa, että erotusosamäärällä
\[\frac{t(x + h_n) - t(x)}{h_n}\]
ei ole raja-arvoa.

Esimerkki tuo epäilemättä uutta valoa derivoituvuuden ongelmaan, mutta olisiko silti niin, että tällainen patologia ei ole keskeistä yleissivistyksessä ja lukio-opiskelussa?