keskiviikko 5. helmikuuta 2014

Ovatko kaikki funktiot derivoituvia?

Tarkastin aikoinani matematiikan ylioppilaskokeita. Mieleeni on jäänyt paperi, jonka alkuun kokelas oli kirjoittanut 'Kaikki esiintyvät funktiot ovat jatkuvia ja derivoituvia.' Hän hoiteli kerralla perustelun, joka yleisen näkemyksen mukaan on ylioppilastehtävissä välttämätön. Useinhan ajatellaan, että pisteitä saattaa mennä, jos esimerkiksi jättää pois maininnan polynomin derivoituvuudesta. Ei lautakunta kuitenkaan pilkun viilausta aivan näin pitkälle vienyt. Opettajat olivat usein paavillisempia.

Kokelaan huomautuksesta olisi tietenkin oikeastaan pitänyt sakottaa.  Tehtävissä tarvittiin myös itseisarvoja, ja itseisarvofunktiohan ei ole derivoituva origossa. En kuitenkaan ryhtynyt viilaamaan pilkkuja.

Millainen käsitys sitten lukiolaisella on ja ylipäätään voi olla funktiosta, joka ei ole derivoituva? Itseisarvo varmaan sopii esimerkiksi, paloittan määriteltyjä funktioita on myös tarjolla. Funktio $x\sin(1/x)$ lienee jo harvemmin käsitelty. Tiedossa on yleensä vain esimerkkejä, jotka ovat selviä tapauksia ja sellaisina ongelmattomia. Paljonko sitten kannattaa tuhlata ruutia derivoituvuuden pohdiskeluun? Vai voitaisiinko todeta, että kaikki esiintyvät funktiot ovat derivoituvia mahdollisesti joitakin ongelmapisteitä lukuunottamatta?

Vaihtoehtona saattaisi olla jonkin kunnollisen patologisen esimerkin käsittely. Tällainen voisi olla vaikkapa Takagin funktio, jonka japanilainen matemaatikko Teiji Takagi (http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Takagi.html, http://en.wikipedia.org/wiki/Teiji_Takagi) esitti vuonna 1903. Funktion kuvaaja tunnetaan myös nimellä blancmange-käyrä, mutta blancmange ei ole matemaatikon nimi vaan syötävää (ks. vaikkapa http://www.berkshiredollshousecompany.com/acatalog/info-BDHFD00014.html).

Takagin funktio $t(x)$ ei ole missään derivoituva, vaikka se onkin jatkuva.  Se siis kelpaa patologiseksi esimerkiksi. Funktio määritellään seuraavasti:
\begin{align*}s(x) &= \min\{|x-n| \mid n \in \mathbb{Z}\}, \\t(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{s(2^k x)}{2^k}.
\end{align*}
Funktio $s$ on sahanteräfunktio ja funktion $t$ termit muodostuvat yhä tiheämpihampaisista sahanteristä.


Sarjan kolme ensimmäistä termiä
Takagin funktio

Vaikka yhä tiheämmiksi käyvät sahanterän kärkipisteet synnyttävätkin epäilyn siitä, että derivoituvuus saattaisi olla ongelmallinen, ei kuvaaja kuitenkaan kovin risaiselta näytä. Kaivataan siis tarkempaa analyysia ja todistusta. Ensinnäkin sarja täytyy todeta suppenevaksi ja sen rajafunktio jatkuvaksi. Tämän jälkeen joudutaan miettimään erotusosamäärän raja-arvoa mielivaltaisesti valitussa pisteessä $x$ ja näyttää, että tätä ei ole. Saattaisi olla vaikeanpuoleinen harjoitustehtävä yliopisto-opiskelijalle, mutta kuvia voi tietenkin katsella vähemmilläkin taidoilla.

Verkkolähteistä en todistusta ainakaan äkkiä löytänyt. Omassa hyllyssäni on saksalainen kunnianhimoinen Konrad Königsbergerin analyysin oppikirja, jossa todistus on, tosin hieman eri tavoin määritellylle funktiolle.  Ideana on tarkastella nollaa kohden suppenevaa sopivasti valittua jonoa $<h_n>$ ja osoittaa, että erotusosamäärällä
\[\frac{t(x + h_n) - t(x)}{h_n}\]
ei ole raja-arvoa.

Esimerkki tuo epäilemättä uutta valoa derivoituvuuden ongelmaan, mutta olisiko silti niin, että tällainen patologia ei ole keskeistä yleissivistyksessä ja lukio-opiskelussa?

3 kommenttia:

Simo K. kirjoitti...

Funktion kuvaaja on tehty Mathematicalla määrittelemällä
s[x_]:=Min[Table[Abs[x-k], {k,0,1025}]
t[x_]:=Sum[s[2^n x]/2^n, {n.0,10}]
Onnistuu varmasti myös Maplella ja Matlabilla. Yritin myös GeoGebralla, mutta onnistumatta. Funktioiden tai komentojen päällekkäin pakkaaminen ei näyttäisi toimivan. Jos sahanterä tehdään toisella tavoin, arccos(cos(x)), niin sitten onnistuu.

Antero Vuokila kirjoitti...
Kirjoittaja on poistanut tämän kommentin.
Antero Vuokila kirjoitti...

Michael Spivakin kirjasta "Calculus" sivulta 422 löytyy teoreemasta 5 yhden sellaisen funktion määritelmä, joka on kaikkailla jatkuva, mutta ei missään derivoituva. Se muistuttaa paljon Tagakin funktiota. Olisin kirjoittanut määritelmän tähän, mutta MathWay-ohjelmalla kirjoittamaani yhtälöä en saanut kopioiduksi tähän..