Entäpä jos kyseessä olisikin kahden muuttujan funktio, jonka arvotkin ovat lukupareja, siis vaikkapa $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, $f(x,y) = (x^2 - y^2, xy)$? Tällöin kuvaaja muodostuu pisteistä $((x,y),(x^2 - y^2, xy))$ tai hieman toisin kirjoitettuna $(x,y,x^2 - y^2, xy)$. Nämä ovat neliulotteisen avaruuden pisteitä ja kuvaaja siis asuu neliulotteisessa avaruudessa.
Tällaisia funktioita ovat myös kompleksifunktiot: Jos $w = f(z)$ eli $u + iv = f(x + iy)$, ovat sekä $u$ että $v$ funktioita muuttujista $x$ ja $y$. Piste $(x,y)$ kuvautuu siis pisteeksi $(u,v) = (u(x,y),v(x,y))$ ja kuvaaja muodostuu pisteistä $(x,y,u(x,y),v(x,y))$. Tällainen on esimerkiksi kompleksinen eksponenttifunktio, joka yksinkertaisimmin määritellään seuraavasti: \[w = u + iv = \exp(z) = \exp(x + iy) = e^x (\cos(y) + i\sin(y)),\] jolloin \[u(x,y) = e^x \cos(y), \quad v(x,y) = e^x \sin(y).\]
Neliulotteinen avaruus ei ole kovin havainnollinen. Maailmamme on (tai ainakin näyttää olevan) kolmiulotteinen eikä ihmisellä ole ainakaan luonnostaan neliulotteista havaintokykyä tai mielikuvitusta. Voitaisiinko neliulotteisessa avaruudessa asuvaa kuvaajaa kuitenkin jotenkin havainnollistaa?
Kolmiulotteisen avaruuden asioista piirretään kaksiulotteisia kuvia. Matemaattisesti ajatellen tässä on kyseessä projektiokuvaus kolmiulotteisesta avaruudesta sopivasti asetettuun kaksiulotteiseen tasoon (kuvatasoon). Projektiokuvaus on yleensä joko keskusprojektio, jolloin syntyy perspektiivikuvia, tai yhdensuuntaisprojektio, jolloin syntyy ns. aksonometrisia kuvia.
Yhdensuuntaisprojektio on helpompi yleistää neliulotteiseen avaruuteen. Tällöin valitaan neliulotteisessa avaruudessa jokin projisiointisuunta, ts. yksiulotteinen aliavaruus, ja projisioidaan kohde — kuvaaja — tämän kolmiulotteiseen ortogonaalikomplementtiin, kuten lineaarialgebrikko sanoisi. Sitten hän muodostaisi projektiokuvaukselle matriisin. Projektiokuva on siten kolmiulotteisessa avaruudessa asuva pinta.
Laskenta on sen verran suuritöistä, että se on luontevaa tehdä sopivalla laskentaohjelmalla. Näissä on yleensä myös valmiina työkalut kolmiulotteisen avaruuden objektien katseluun ja pyörittelyyn, jolloin pintaa on helppoa tarkastella kaksiulotteisella näytöllä.
Neliulotteista kuvaajaa voidaan tällöin tarkastella muuttamalla projisiointisuuntaa neliulotteisessa avaruudessa tai pyörittelemällä projektiona saatua pintaa kolmiulotteisessa avaruudessa.
Millaisia kuvia sitten saadaan ja miten helppoa niiden avulla on hahmottaa neliulotteista kuvaajaa? Aivan helppoa se ei ole. Ehkä neliulotteisuudesta ei oikein synny mielikuvaa, mutta projisiointisuuntaa vaihtamalla voidaan saada esiin erilaisia kuvaajan piirteitä.
Eksponenttifunktion tapauksessa kuvaajan pisteet neliulotteisessa avaruudessa ovat muotoa $(x,y,e^x \cos(y),e^x \sin(y))$. Muuttujat on oheisissa kuvissa rajattu ehdoilla $-3 \le x \le 3/2$, $-2\pi \le y \le 2\pi$. Laskenta on tehty Mathematicalla ja artikkelin alussa oleva kuva näyttää Mathematican tarjoaman työskentely-ympäristön. Tässä projektiosuunta annetaan säätimillä, jotka viittaavat neliulotteisen avaruuden pallokoordinaatteihin. Säätimien arvot ovat asteita. Kuvaan on lisätty myös neliulotteisen avaruuden akselit $x$, $y$, $u$ ja $v$.
Alla olevissa kuvissa projisiointisuunnaksi neliulotteisessa avaruudessa on valittu ensin x-akseli ja sitten y-akseli, jolloin nämä projisioituvat yhdeksi pisteeksi.
Valitsemalla projisiointisuunnat sopivasti saadaan alla oleva kuvapari, joka antaa hieman yleisemmin käytetyn tavan kuvata kompleksista eksponenttifunktiota: xy-tason suorakulmainen ruudukko kuvautuu uv-tasoon samakeskisiksi ympyröiksi.
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti