Verbaalinen epsilon ja delta

Raja-arvon määrittelyä epsilonia ja deltaa käyttäen pidetään — aiheellisesti — vaikeana asiana. Aiemmin opiskeltuun matematiikkaan nähden abstraktiotaso on selvästi korkeampi. Tämän sijasta usein määritellään, että funktiolla $f$ on pisteessä $a$ raja-arvo $b$, siis $\lim_{x \to a} f(x) = b$, jos funktion $f$ arvot tulevat mielivaltaisen lähelle lukua $b$, kun muuttujan $x$ arvot tulevat riittävän lähelle lukua $a$. Tätä voidaan täydentää jollakin epsilon-delta-ajatteluun viittaavalla lausumalla, mutta se ei kovin paljoa opiskelijalle anna. Kirjoittaja vain pesee kätensä määritelmänsä epämääräisyydestä.

Ei liene aivan selvää, millaisia mielikuvia raja-arvosta em. määritelmä opiskelijalle synnyttää. Luin jokin aika sitten amerikkalaisen professorin David Bressoudin blogikirjoituksia Beyond the Limit I, II, III, joissa käsiteltiin aiheesta tehtyjä tutkimuksia. Opiskelijoille on annettu yhdentoista tehtävän sarja, joissa heitä on pyydetty selittämään (explain) raja-arvoihin liittyviä ideoita, merkityksiä ja syitä. Tulosten perusteella käsitykset on luokiteltu eri tyyppeihin.  Vastaavanlainen tutkimus suomalaisista pitkän matematiikan lukijoista voisi olla kiinnostava.  Onkohan tällaisia tehty?

Edellä mainitun määritelmän epämääräisyys näkyy verbivalinnassa: mitä tarkoittaa arvon 'tuleminen'?  Onko kyseessä jonkinlainen dynamiikka? Verbiä voi toki vaihtaakin, mutta epämääräisyyttä se ei poista.  Onko arvoja paljon? Voivatko ne jotenkin heilahdella? Lähestyvätkö ne tasaisesti? (Mitä se sitten onkin.)  Ongelmiin joudutaan viimeistään yritettäessä yleistää määritelmää kahden muuttujan funktioille.

Epämääräisyydestä huolimatta esitystä yleensä jatketaan lauseilla summan, tulon ja osamäärän raja-arvoista. Tietenkään näitä ei todisteta, ei toki oikein voitaisikaan, mutta tulokset julistetaan tärkeinä lauseina. Toisinaan tähän sarjaan liitetään myös alussa olevan kuvan yhdistettyä funktiota koskeva lause. Ilmeisen tuntuinen tulos, jonka toki voinee todistaakin epsilon-delta-tekniikalla. Paitsi että lause ei pidä paikkaansa.

Virheellisen lauseen on esittänyt suomenkielinen Wikipediakin (ainakin 16.9.2019, olen huomauttanut asiasta). Englannin- ja saksankielisissä Wikipedia-artikkeleissa on vastaesimerkki, joka osoittaa lauseen vääräksi. Ehkä yksinkertaisin esimerkki on $f(x) = 0$, kun $x \neq 0$, $f(0) = 1$ ja tarkastellaan yhdistettyä funktiota $f \circ f$.

Ranskankielinen Wikipedia-artikkeli esittää yhdistettyjä funktiota koskevan tuloksen pätevänä lauseena, ja tällä kertaa se sitä onkin, sillä ranskalainen raja-arvon määritelmä on hieman erilainen: funktion arvo pisteessä $a$ otetaan huomioon, ts. $0 \le |x-a| < \delta$. Tämäkin kyllä sopii em. verbaaliin määrittelyyn.

Miten raja-arvo sitten tulisi määritellä lukiotasolla? Epsilon-delta-määritelmästä aloittaminen on varmasti liian vaativaa, joten edellä esitettyyn epämääräisyyteen on tyydyttävä. Vierastan tällöin kuitenkin pohdiskeluja raja-arvon laskusäännöistä ja toispuolisista raja-arvoista. Ikään kuin oltaisiin kehittämässä täsmällistä teoriaa. Todettakoon mieluummin suoraan määritelmän riittämättömyys ja palattakoon siihen myöhemmin jossakin analyysin jatkokurssissa, jolloin kykyä abstraktisuuden käsittelemiseen on ehtinyt kertyä. Intuitiivisen mielikuvan ja raja-arvojen numeerisen laskemisen pohjalta päästään aivan hyvin kiinni erotusosamäärän raja-arvoon, ts. derivaattaan. Samalla kurssi muuttuu selvästi kevyemmäksi.

Tällä tavoin asia on hoideltu Kalle Väisälän maineikkaassa algebran kirjassa. Sitä selailemalla ei oikein voi välttyä käsitykseltä, että Väisälä oli pedagogi, joka taisi tehdä paljon töitä löytääkseen asioille luontevan ja kohtuullisen helposti omaksuttavan esitystavan.