$(-1)^\pi$ ja muita kummallisuuksia

Yleisen potenssin $a^r$ määrittelyssä yleensä oletetaan, että $a$ on positiivinen.  Eksponentti $r$ voi olla mikä tahansa reaaliluku. Määrittely etenee sallimalla $r$:lle aluksi positiiviset kokonaisluvut, sitten kaikki kokonaisluvut, rationaaliluvut ja lopuksi reaaliluvut. Siten esimerkiksi $5^{1/2} = \sqrt{5} = 2.236\dots$ ja $e^{-\pi} = 0.0432\dots$ tulevat määritellyiksi.

Laskentaohjelmat antavat kuitenkin tuloksia myös tapauksissa, joissa $a$ on negatiivinen tai peräti kompleksinen. Myös $r$ voi kompleksiluku. Mitä nämä itse asiassa tarkoittavat?

Negatiivisen luvun kokonaislukupotenssi on ongelmaton.

Jos eksponentti on muotoa $1/n$, kyseessä on $n$:s juuri, ts. yhtälön $x^n = a$ ratkaisu $\sqrt[n]{a}$. Jos $a$ on positiivinen, tälle löytyy aina yksi reaalinen ratkaisu. Jos $a$ on negatiivinen, näkökulmaa täytyy hieman muuttaa ja tarkastella asiaa kompleksilukujoukossa.

Juuren ja juurifunktion käsitteet on tällöin syytä erottaa. Luvun $a$ $n$:s juuri on em.  yhtälön $x^n = a$ ratkaisu ja näitä on kompleksitasossa $n$ kappaletta. Jokin näistä kiinnitetään juuren päähaaraksi eli juurifunktioksi. Merkintä $\sqrt[n]{a}$ tai $a^{1/n}$ viittaa yleensä tähän. Yleensä juurifunktioksi kiinnitetään se, jonka napakulma on itseisarvoltaan pienin. Tämä voi olla kompleksinen, ja varsin usein onkin. Jos halutaan pysyä reaalialueella, voidaan kiinnittää reaalinen vaihtoehto, jos sellainen on olemassa. Siis:
$$(-8)^{1/3} = \sqrt[3]{-8} = 1 + i\sqrt{3} \quad\text{tai}\quad (-8)^{1/3} = \sqrt[3]{-8} = -2.$$
Tietokoneohjelmissa voidaan yleensä valita, kumpaa kiinnitystä käytetään.

Kiinnittämisellä on kuitenkin haittansa: kaikki tavalliset laskusäännöt eivät enää päde. Yllä olevassa kuvassa on yksi esimerkki, toinen saadaan luvuista $a = -1 + i\sqrt{3}$, $b = i$, joille $\sqrt{a}\sqrt{b}$ ja $\sqrt{ab}$ ovat vastakkaismerkkiset eivätkä yhtä suuret.  Laskusäännöt ovat voimassa, jos juuri valitaan eri vaihtoehdoista tilanteeseen sopivalla tavalla.

Ongelmaa voidaan lähestyä myös kirjoittamalla potenssin mahdollisesti kompleksinen kantaluku napakoordinaattimuotoon:
$$a = x +iy = |a| (\cos\varphi + i\sin\varphi) = |a| e^{i\varphi},$$ missä $\varphi$ on luvun $a$ napakulma, $-\pi < \varphi \le \pi$. Jos $a$ on negatiivinen (ja reaalinen), esitys on muotoa $a = |a| e^{i\pi}$, sillä $e^{i\pi} = -1$. Kompleksisen eksponenttifunktion $e^z$ määritelmä on luontevimmin sarjakehitelmä, mutta tässä yhteydessä riittää ajatella yhteyttä $e^{it} = \cos t + i\sin t$, $t$ reaalinen.

Napakoordnaattimuoto antaa mahdollisuuden potenssin yleiseen määrittelyyn:
$$a^r = |a|^r e^{ir\varphi},$$ jolloin on määritelty, että kompleksinen eksponenttifunktio korotetaan potenssiin kertomalla eksponentit. Tällä tavoin saadaan lasketuiksi esimerkiksi oheisen kuvan potenssien likiarvot. Jätän tarkat arvot lukijan selvitettäviksi; edellä sanottu antaa eväät.

Miten napakoordinaattimuodon käyttö sitten suhtautuu juurten monikäsitteisyyteen?  Saadaanko kaikki juuren kaikki arvot sen avulla? Napakulma normeerataan yleensä välille $-\pi < \varphi \le \pi$, mutta periaatteessa ei ole estettä lisätä siihen mielivaltainen määrä luvun $2\pi$-termejä. Nämä antavat muut juuren arvot.  $n$:nnen juuren tapauksessa samat arvot alkavat toistua $2\pi$-termien määrän kasvaessa, joten eri suuria arvoja saadaan vain $n$ kappaletta. Lukija miettiköön, mitä tapahtuu, jos eksponentti on esimerkiksi $\pi$.