En ymmärrä

Funktiokone (© Tuula Kivelä)

Koulumaailman ulkopuolisen kansalaisen on hieman vaikeata saada selville, mitä koulussa nykyään oikein opetetaan. Jos ei ole sopivan ikäisiä omia tai tuttavien lapsia eikä lähipiiriin kuulu opettajia, ei ole muuta mahdollisuutta kuin kävellä kirjakauppaan.  Kirjastoissahan koulukirjoja ei ole, eikä kirjakaupassakaan muita kuin lukion kirjoja. Digitaalimateriaalien yleistyessä tilanne menee vielä vaikeammaksi.

Minulla on kuitenkin sen verran hyvät suhteet erääseen lähiseudun lukioon, että sain lainaksi joulunpyhien yli nipun lukion pitkän matematiikan kirjoja. Näitä olen selannut ja ihmetellyt, tosin kyllä tehnyt muutakin joulun aikaan.

Lukion ensimmäinen matematiikan kurssi on yhteinen lyhyelle ja pitkälle matematiikalle tarkoituksena antaa jonkinlainen kuva matematiikasta, ennen kuin valinta täytyy tehdä. Järjestely on saanut paljon kritiikkiä. En pidä ajatusta sinänsä huonona, mutta kirjaa selattuani en voi pitää toteutusta onnistuneena. Kyllähän se on omiaan ruokkimaan näkemystä, että matematiikkaa ei voi ymmärtää eikä siitä hyötyä ole, ehkä prosenttilaskua lukuunottamatta.

Ehkä on syytä todeta, että selaamani kirja on Sanoma Pron kirja, mutta en usko muiden tästä olennaisesti poikkeavan. Osa ongelmista johtuu opetussuunnitelmasta.

Mitä hirvittävyyksiä kirjasta sitten löytyy? Tai siis pedagogisia ratkaisuja, joita minä en ymmärrä.

Ensimmäinen huomio koskee esitystapaa. Peräkkäisiä esimerkkejä hengessä 'tee näin', sitten harjoitustehtäviä, joissa on tarkoitus apinoida esimerkkejä. Opitaan ratkaisemaan mallitehtäviä, ajattelu jää sivuseikaksi.

Kirja alkaa lukujoukkojen esittelyllä, luonnolliset luvut, kokonaisluvut, rationaaliluvut, reaaliluvut. Seuraava joukko aina edellistä laajempi. Joitakin laskusääntöjä siinä hengessä, että reaalilukujen aksioomista on poimittu jotakin, kun täyttä aksioomalistaa ei ymmärrettävistä syistä voida esittää. Mutta ei kai lukiolainen lukuja näin miellä? Eivät laskusäännöt tule siitä, että ne julistetaan. Kyllä ne on mielletty jollakin muulla tavalla.

Aksiomatiikka sinänsä voisi ainakin osalle lukiolaisista olla kiinnostava lähestymistapa, mutta reaalilukujen kohdalla se on aika toivoton ajatus.  Tie on pitkä ja täynnä trivialiteetteja, jos jotakin halutaan todistaa aksioomista lähtien. Tylsää, ei varmasti innosta.

Tämä olisi ollut luonnollinen paikka opetella itseisarvojen käyttöä, mutta se on siirretty johonkin myöhempään kurssiin. Irrationaalilukujakin olisi voinut pohtia: miksi niitä tarvitaan ja mitä ne oikein ovat.  (Enkä tarkoita Cauchyn jonoja tai Dedekindin leikkauksia.)

Seuraavaksi kerrataan potenssin määritelmä ja laskusäännöt, tosin vain kokonaislukueksponentein. Sitten tulee yllätys: logaritmifunktio. Opitaan muun muassa, että yhtälön $3^x = 25$ ratkaisu on $x = \log_3 25 \approx 2.93$.  Siis $3^{2.93}$ on $25$, ainakin likimain. Mutta mitä tarkoittaa $3^{2.93}$?  Se saadaan laskimesta eikä sitä yritetä sen kummemmin ymmärtää. Matematiikka on täynnä asioita, joita ei ole tarkoituskaan ymmärtää. Vai lisäisikö tämä kiinnostusta pitkään matematiikkaan, koska opittavaa vielä tuntuu riittävän?

En ymmärrä, miksi edes rationaalisista eksponenteista ei puhuta mitään.  Eivätkä irrationaalisetkaan kovin mystisiä olisi, jos irrationaaliluvut olisi jotenkin pohjustettu. Kysyin tuttavaperheen lukiolaiselta, tietääkö hän, mitä $2^{1/2}$ tarkoittaa. Sanoi kyllä tietävänsä, mutta ei koulussa oppineensa.

Funktio on matematiikan yleisimpiä käsitteitä ja sellaisena kaikille yhteisen kurssin luonnollista sisältöä. Yhden muuttujan funktioiden ja niiden kuvaajien käsittely on hyvä pohja myöhemmille matematiikan opinnoille, olivat ne sitten lyhyttä tai pitkää.

Mahdollisuus kiinnostavien asioiden esiin tuomiseen kuitenkin hukataan, jos funktioista ei enempää sanota. Kun funktiokone ajatuksena kuitenkin esitellään, olisi saman tien voinut esitellä vaikkapa kahden muuttujan funktiot tai käyttää esimerkkinä jokaisen oppilaan omaa mahtavaa funktiokonetta, jossa on varsin monta funktiota valmiina: laskinta. Näiden määritelmiin voidaan palata myöhemmin, mutta kuvaajia niille voidaan jo tässä vaiheessa piirtää. Samalla tulisi laskinharjoittelua.

Sanottakoon selvyyden vuoksi, että toki Sanoma Pron oppikirjassa on hyvääkin.  Tämän jutun otsikko on kuitenkin 'En ymmärrä', joten keskityn siihen.

Oleellista on, että asiat käsitellään luonnollisissa yhteyksissä. Ei matematiikka ole kokoelma irrallisia silpputietoja. Nykyiseen repaleiseen kurssirakenteeseen on ajauduttu vuosien kuluessa. Monia asioita on poistettu, toisia lisätty, nekin ehkä poistettu, vanhoja edelleen hellitään, vähänkään radikaalimpaa revisiota ei ole tahdottu/uskallettu tehdä. Lopputulos on valitettavasti sellainen, etten lainkaan ihmettele, jos matematiikalla on vähän huono maine.

Minut kutsuttiin kerran erään kustantajan oppikirjaprojektin ohjausryhmään. Esitin tuolloin, että voisi olla hyvä katsoa, miten asiat on ratkaistu muissa maissa, lähinnä Euroopassa. Vaikka ratkaisuja ei varmasti voikaan kopioida, niistä voi oppia uusia ehkä hyödyllisiä näkökulmia. Kustantaja ei innostunut hankkimaan kirjoja eivätkä oppikirjantekijätkään. Oli kiire. Tehtiin mieluummin ihka omaa sutta.