keskiviikko 28. kesäkuuta 2017

Talon nurkka ja GPS


Merkittiin kesämökillä maastoon suunnitellun uuden talon paikkaa.  Mittaukset narulla, jossa oli merkit kolmen metrin välein. Suorakaide saatiin merkityksi, lävistäjämitatkin olivat yhtä suuret.

Lupa-anomukseen tarvitaan karttapiirros, joten suorakulmion kärjet täytyy viedä kartalle. Yksinkertaisinta on tietenkin mitata etäisyyksiä tunnetuista karttapisteistä, mutta mieleen juolahti kokeilla, miten pitkälle modernilla tekniikalla ja matematiikalla pääsee.

GPS-kännykkäsovellus lupaa sijaintipisteen maantieteelliset koordinaatit — pituuden ja leveyden — parhaimmillaan kolmen metrin tarkkuudella. Ei oikein riittävältä tunnu, mutta ainahan voi yrittää. Mitattiin siis GPS:llä talon neljä nurkkaa, talletettiin arvot kännykän muistiin ja lähetettiin sähköpostilla kotitietokoneeseen laskemista varten. Työvälineenä oli käytettävissä laskentaohjelma Mathematica.


Maantieteellisten koordinaattien avulla ei voi suoraan tutkia kuvion suorakulmaisuutta, koska leveysasteen pituus ja pituusasteen pituus eivät ole yhtä suuria. Pallokoordinaattimuunnoksella (missä $r$ on maapallon säde, $\vartheta$ leveysaste ja $\varphi$ pituusaste)
\[ \begin{aligned}
x &= r\cos\vartheta\cos\varphi\ ,\\
y &= r\cos\vartheta\sin\varphi\ ,\\
z &= r\sin\vartheta\
\end{aligned} \]
saadaan kuitenkin vastaavat suorakulmaiset avaruuskoordinaatit, jolloin tiedetään avaruusnelikulmion kärkien koordinaatit. Nelikulmio sijaitsee likimain tasossa, kyseisen mökkitontin horisonttitasossa. Sen sivujen pituuksia ja kulmien suuruuksia laskemalla voi tutkia, onko kyseessä suorakulmio.

Ei ollut, mutta muutaman metrin tarkkuudella oikeat sivujen pituudet kyllä saatiin. Enempää ei toki voinut toivoakaan, koska jo lähtöarvoissa oli epätarkkuutta muutaman metrin verran.

Avaruuskoordinaatit eivät sellaisinaan auta mökin paikan piirtämistä kartalle, vaan on laskettava karttakoordinaatit jossakin sopivassa järjestelmässä. Tämä vaatii jo enemmän kartoittajan tietoja, mutta Maanmittauslaitos tarjoaa työkalut koordinaatistomuunnoksiin: http://coordtrans.fgi.fi/transform.jsp. Sähköpostilla lähetetyt koordinaatit saattoi syöttää sovellukselle suoraan tiedostosta (kuten Mathematicallekin), ja tuloksena olevat karttakoordinaatitkin saatiin suoraan tekstitiedostoon. Digitalisaatio alkaa toimia.

Mökin pohjan olisi siis voinut piirtää karttaan, jos kännykkä-GPS olisi antanut tarkemmat arvot. En tiedä, miten suureen tarkkuuteen nykyään on mahdollista GPS:llä päästä. Joko kiväärin luodin voi ohjata silmien väliin? Sotilaalliset tavoitteethan tuottavat innovaatioita ihmiskunnalle.

Mitä tästä kokeilusta tulisi oppia matematiikan opettamisen kannalta?  Ainakin seuraavaa:
  • Avaruusgeometria on asioiden hahmottamisen kannalta tärkeää.
  • Pallokoordinaatit ja niiden muuntaminen ei ole lukiolaiselle mitenkään ylivoimaista. Avaruuskuvioita täytyy osata hahmottaa, trigonometrisia funktioita käyttää. Tällöin jo aukeaakin tie moniin reaalimaailman ongelmiin.
  • Karttakoordinaattien ymmärtäminen kuuluu yleissivistykseen. Tiettyä henkistä joustavuutta tarvitaan: Pohjoiskoordinaatti esitetään ensin, sitten itäkoordinaatti. Edellinen kasvaa ylöspäin, jälkimmäinen oikealle.  Siis toisinpäin kuin $x$ ja $y$. (Tein kerran ylioppilastehtävän, jossa piti laskea jotakin sijaintia Helsingin edustalla oikeilla karttakoordinaateilla. Sain opettajakunnalta kritiikkiä siitä, että koordinaatit esitettiin päinvastaisessa järjestyksessä kuin tutut $x$ ja $y$. Opimme ylioppilaskoetta, emme elämää varten.)
  • Laskentaohjelma on hyvä työkalu. Edellä kuvattujen asioiden laskeminen käsin olisi tylsää ja virhealtista. Oleellista on hahmottaa kokonaisuus ja mitä ollaan tekemässä. Sen jälkeen kone tekee työt. Numeeriset ominaisuudet ovat lukiotasolla tärkeämpiä kuin symboliset. Digitalisaatio muuttaa myös koulua. Tai ainakin sen pitäisi, järkevään suuntaan.

sunnuntai 18. kesäkuuta 2017

Matematiikan vaellusretket


Julkaisin viime helmikuussa matematiikkaa popularisoivan kirjan Vaellusretkiä matematiikkaan, omakustanne, 210 sivua, 25 toisistaan riippumatonta artikkelia. Saatavana verkkokirjakaupoista tai suoraan minulta. Tarkempia tietoja on verkkosivulla http://www.elisanet.fi/simo.kivela/vaellmat.html.

Painos oli 150 kappaletta, joista tällä hetkellä on jäljellä neljä.  Lisäkappaleita on tilattu 50. Tiedossani on kolme arviointia:

Matti Lehtinen verkkolehti Solmussa, http://matematiikkalehtisolmu.fi/2017/2/vaellusretkia.pdf

Aaro Salosensaari blogissaan, https://aqsalose.kapsi.fi/blog/book-vaellusretkia.html

Petri Laarne blogissaan, http://www.nollakohta.fi/2017/05/lukuvinkki-vaellusretkia-matematiikkaan.html

Tekijälle on aina miellyttävää, kun joku on paneutunut tuotokseen ja innostuu kommentoimaan. Mainituissa arvioineissa nostetaan esiin näkökohtia, jotka ansainnevat enemmänkin pohdiskelua. Omina kommentteinani seuraavaa:

Kirjaani luonnehditaan hieman vaativaksi ja harvinaisuudeksi suomalaisessa ympäristössä. Ehkä näin on, mutta vastaavanlaisia artikkeleita kyllä löytyy ainakin verkkolehti Solmusta (http://matematiikkalehtisolmu.fi/). Tässä on vastakkain perinteinen kirja ja digimaailma. Miten nykyään pitäisi julkaista?

Verkkomateriaali on helposti saavutettavissa ainakin, jos se ei ole maksumuurin takana. Usein se kuitenkin muodostaa aika sekavan kokoelman, jota voi silmäillä, mutta jonka jäsentäminen on vaikeata. Kirjaan kuuluu jotenkin luonnostaan selkeämpi jäsennys. Kirja on enemmän olemassa: Sen voi antaa lahjaksi vaikka tuoreelle ylioppilaalle. Nettiosoitteen antaminen ei oikein tunnu samalta sen enempää saajalle kuin antajallekaan.

Kirjasta joutuu maksamaan, nettimateriaalin ilmaisuuteen on totuttu. Vaikka tekijä tietenkin onkin palkkansa ansainnut, ei kummastakaan vaihtoehdosta korvausta työlleen saa. Hyvä kun saa kirjan painolaskun kuitatuksi.

Kun kirjassa on 25 artikkelia, on selvää, että se ei voi antaa minkäänlaista yleisempää kuvaa 'mistä matematiikassa on kysymys ylioppilaskirjoitusten vaatimusten tuolla puolen' (Aaro Salosensaaren erinomainen formulointi).  Yhden henkilön projektiksi tällaisen kuvan antaminen olisi aika vaativa.  Voisikin kysyä, löytyisikö useita henkilöitä puhaltamaan yhteiseen hiileen, kukin oman asiantuntemuksensa mukaan.

Kirjani kunkin artikkelin lopussa on muun ohella verkkoviitteitä jatkolukemiseen.  Näiden osoitteet saattavat olla pitkiäkin, eikä niiden naputteleminen selaimeen kovin hauskaa ole. Myönnän kritiikin aiheelliseksi ja tarjoan apuvälineen: pdf-tiedosto http://www.elisanet.fi/simo.kivela/vaellmatViitteet.pdf sisältää artikkelien loppuhuomautukset aktiivisine linkkeineen.

Kommentoijia kiitän.