perjantai 29. toukokuuta 2015

Kipsikuvia ja muuta matematiikkaa


Olen muutamissa aiemmissa postauksissani (24.5.2013, 2.3.2015, 11.4.2015) käsitellyt matemaattisten mallien kokoelmaa, jonka kuluneen kevään aikana olen järjestellyt nähtäväksi Aalto-yliopiston tiloihin Otaniemeen. Alunperin kyseessä on Teknillisen korkeakoulun kokoelma.

Työ on nyt valmis ja verkkosivutkin ovat olemassa: http://math.aalto.fi/models/.  Näyttely sijaitsee matematiikan ja systeemianalyysin laitoksen aulassa entisen Teknillisen korkeakoulun päärakennuksen M-siiven toisessa kerroksessa. Kiinnostuneet voivat käydä katsomassa. Kyseessä on pysyvä näyttely.

Kokoelman merkittävin osa muodostuu pintojen kipsi- ja lankamalleista sekä joistakin kinemaattisista ja topologisista malleista. Näillä on ikää yli sata vuotta. Niiden valmistus alkoi Saksassa 1870-luvulla ja ensimmäiset on hankittu silloiseen Polyteknilliseen Opistoon vuonna 1887. Tästä tuli yliopistotasoinen Teknillinen korkeakoulu vuonna 1908.

Esillä on myös geometrisia piirustusvälineitä sekä matemaattisia instrumentteja ja laskulaitteita, jotka vanhenivat tietokoneaikakauden todella alkaessa 1970-luvun alussa. Kolmantena aihepiirinä ovat deskriptiivisen geometrian piirustukset ja kolmiulotteiset mallit. Näillä on ikää yli 50 vuotta.

Tarkemmat tiedot löytyvät verkkosivujen esittelyteksti-linkistä.

Kyseessä on pala matematiikan opetuksen historiaa teknillisen opetuksen näkökulmasta. Deskriptiivisen geometrian sekä laskenta- ja piirustusvälineiden merkitys insinöörikoulutuksessa on melko selvää. Olihan deskriptiivisen geometrian luoja Gaspard Monge opettajana École polytechniquessa, ja hänen mukaansa nimetty Mongen projektio niin tärkeä työkalu mm. linnoitussuunittelussa, että se luokiteltiin suureen vallankumoukseen saakka sotasalaisuudeksi.

Geometristen kipsi- ja lankamallien suhde tekniikan opetukseen ei ole yhtä selvä. Monet niistä liittyvät siinä määrin pitkälle menevään geometriaan, että niitä tuskin on voitu käyttää tavanomaisten kurssien opetusvälineinä.  Ne ovatkin ilmeisesti liittyneet enemmän opettajien tutkimustyöhön, ja niillä on varmasti ollut merkityksensä kolmiulotteisten rakenteiden yleisessä hahmottamisessa. Ehkä on myös ajateltu, että yliopistolla tulee olla matemaattisia kokoelmia samoin kuin on mineralogisia, kasvitieteellisiä tms.  kokoelmia.

Annan mielelläni lisätietoja näyttelystä, malleista ja niiden taustoista.

sunnuntai 24. toukokuuta 2015

Buffon, laskimet ja koulu

Johduin jokin aika sitten palauttamaan mieleeni probleeman, jonka Buffonin kreivi, Georges-Louis Leclerc de Buffon esitti vuonna 1733. Tämä on todennäköisyyteen liittyvä koe, joka tunnetaan Buffonin neulaprobleeman nimellä:

Paperille piirretään tasavälisiä yhdentaisia viivoja. Kuvion päälle pudotetaan satunnaisesti neula, jonka pituus on sama kuin viivojen etäisyys toisistaan. Millä todennäköisyydellä neula putoaa siten, että se leikkaa jonkin viivan?

Buffonin neulaprobleema: yhdensuuntaiset viivat ja neula

Ainakin yliopistojen todennäköisyyslaskennan kursseissa tämä yleensä lienee harjoitustehtävänä. Tulos on $2/\pi \approx 0.63662$. En esitä ratkaisua tässä. Kiinnostuneet voivat katsoa vaikkapa verkkodokumenttia http://fi.wikipedia.org/wiki/Buffonin_neula.

Lukiossakin opetetaan todennäköisyyslaskentaa. Saattaa olla, että ratkaisu on hieman vaikea lukiolaiselle käsitteellisellä tasolla, vaikka se teknisesti on täysin mahdollinen.

Mutta lukiolainenhan voisi simuloida probleemaa. Piirretään viivat paperille ja heitetään neulaa vaikkapa 10000 kertaa. Lasketaan viivan päälle osumisten suhde kaikkien heittojen määrään ja katsotaan, päästäänkö lähelle lukua $2/\pi$. Ehkei sentään. Olisi vähän tylsää ja kuntakin joutuisi ostamaan neuloja aika läjän.

Mutta tässä olisi sopiva tehtävä toteutettavaksi laskimilla tai mieluummin tietokoneilla. Jouduttaisiin pohtimaan todennäköisyyden luonnetta ja simuloinnin ideaa, saataisiin matematiikan oppimista tukeva ohjelmointitehtävä. Konkreettista tekemistä, jossa ei kysytäkään opettajalta, milloin tehtävä on tehty, vaan saatu tulos ratkaisee.

Edellytyksenä tietenkin on, että käytössä oleva laskin tai tietokoneohjelma tukee tällaista käyttöä. Ainakin tarvitaan satunnaislukugeneraattori, joka tuottaa jollekin välille tasaisesti jakautuneita satunnaislukuja. (Mitä nämä ovat? Lisää pohdittavaa tunnille.) Lisäksi tarvitaan mahdollisuus kirjoittaa riittävän helposti yksinkertaista ohjelmakoodia, ja laskentanopeuttakin pitäisi olla riittävästi. Miljoonan neulanpudotuksen pitäisi olla mahdollista muutamassa minuutissa, ehkä alle minuutin. Varovaisempaa tietenkin aloittaa tuhannesta tai muutamasta kymmenestä tuhannesta pudotuksesta.

En tiedä, miten hyvin nykyiset laskimet ja kouluihin tarjottavat tietokoneohjelmat tukevat tällaista laskentaa. Esitänkin haasteen laskinfirmojen edustajille: laatikaa ohjelma ja julkaiskaa se, lisäksi tiedot laskentaan kuluvasta ajasta.

Matematiikan ymmärtämisen kannalta symbolisten laskimien käyttö saattaa herkästi painottaa vääriä asioita. Oleelliseksi tulee valmiiden työkalujen käytön oppiminen ja sivuun jää se, mihin näitä varsinaisesti tarvitaan. Numeerinen laskenta ohjelmointiin yhdistettynä saattaa avata oppilaille näköaloja enemmän kuin symbolinen laskenta asiana sinänsä. Ei symbolinen laskenta silti tarpeetonta ole. Sen ja ohjelmoinnin yhdistäminen avaa mahdollisuuksia vielä enemmän.

Joku saattaa sanoa, ettei koulumatematiikka tällaista ole eikä koulussa ole mahdollisuuksia tällaiseen. Aivan oikeassa hän on. Mutta tällaista sen pitäisi lähitulevaisuudessa olla, ja tähän suuntaan pitäisi edetä.

sunnuntai 10. toukokuuta 2015

Matematiikan opetus ja tietokoneet, ei hyvältä näytä

Olen puolustanut laskimien tai mieluummin matemaattisten tietokoneohjelmien käyttöä matematiikan opetuksessa, mutta samalla vaatinut niiden järkevää käyttöä. 'Järkevä' tarkoittaa matematiikan oppimisen edistämistä, ei mitä tahansa tietoteknistä räpeltämistä.

Viime aikojen keskustelua seurattuani on pakko todeta, että ei hyvältä näytä. Opettajakuntaa ei kiinnosta mikään muu kuin ylioppilaskokeen arvosteluperusteet. Kaikkein mieluiten haluttaisiin auktorisoitu lista kokeessa sallituista laskimen käyttötempuista, ja tämä sitten taottaisiin lukiolaisparkojen päähän. Laskimien maahantuojia kiinnostaa ainoastaan oma markkinaosuus. Tämän turvaamiseksi opettajia koulutetaan juuri meidän laskimemme surkeaan käyttöliittymään. Opettajankouluttajat ovat hämmästyttävän hiljaa. Juuri heidänhän luulisi olevan kiinnostuneita pedagogisesti järkevästä tekniikan käytöstä. Varsinaisesta matematiikan osaamisesta ovat kiinnostuneita vain konservatiiviset opettajat, jotka haluavat paluuta menneeseen.

Olenko pessimisti? Ehkä en kuitenkaan ihan. Myönnän toki, että tilanne on hämmentävä: tarjontaa erilaisista tietoteknisistä välineistä ja ratkaisuista on paljon, niihin paneutuminen vaatisi aikaa, opetussuunnitelmia uudistetaan, ylioppilaskoetta sähköistetään (ja purraan aika isoa palaa). Silti ei pitäisi heittää lasta eli matematiikkaa pesuveden eli tietotekniikan mukana pois. Molempia tarvitaan.

Mitä sitten näen pahimpina ongelmina? Jonkinlaista idealismia kaipaisin.  Matematiikka on hieno asia ja oppilaille on annettava mahdollisuus innostua siihen.  Tärkeintä ei tällöin todellakaan ole ylioppilaskokeen vaatimukset.  Nekin muuttuvat eikä niitä pidä tiukasti formalisoida. Innostuneisuus matematiikkaan on paljon tärkeämpää kuin muutama koepiste sinne tai tänne.

Opettajien pitää ymmärtää, että laskin on apuväline, jota saa käyttää, mutta jota ei saa syyttää omasta ymmärtämättömyydestä. Jos laskin (tai tietokoneohjelma) antaa virheellisen, puutteellisen tai kryptisen tuloksen, ei ole lieventävä asianhaara, että tulos on saatu laskimesta.  Kyseessä on käyttäjän vika. Oppilas ei ehkä heti usko tätä, mutta koulussa ollaan, jotta opitaan.

Lähinnä kai kaupallisista syistä laskimiin kehitetään mahdollisimman monia valmiita toimintoja mutkikkaiden valikoiden taakse. Tavoitteena sanotaan olevan oppimisen helpottaminen. Seurauksena on kuitenkin oppimisen suuntautuminen tietyn laskimen valikoiden opetteluun, ei matematiikkaan.  Tarjolla olevien työkalujen tulisikin olla primitiivejä, perustyökaluja, joita opiskelijan on kombinoitava matemaattisen ymmärryksensä mukaan.  Samalla astutaan luonnollisella tavalla ohjelmoinnin maailmaan: taitojen karttuessa kerätään primitiiveistä itse tehty paketti tiettyä tehtävää varten.  Edellytyksenä tietenkin on, että laskin tukee yksinkertaista, mutta selkeää ja ilmaisuvoimaista ohjelmakoodia.

Samaan tapaan kuin kirjallisuutta arvostellaan tai tekniikkaa testataan, olisi tarpeen arvioida koulumaailmaan tarjottuja laskimia, ohjelmistoja, opetuspaketteja yms. Tasapuolinen arvionti ilman henkilökohtaisia mieltymyksiä ei vain ole aivan pieni tehtävä.

Laskimien käyttö on painottunut hieman kummallisella tavalla: Niitä käytetään suhteellisen yksinkertaisiin perustehtäviin (jolloin kyllä opitaan tietoteknistä sorminäppäryyttä), mutta ne eivät useinkaan toimi siltoina laajempaan omaehtoiseen matemaattiseen kokeiluun ja pienimuotoiseen tutkimukseen. Ei ole opittu katsomaan yli koulukurssien eivätkä kaikki laskimet edes tue kovin hyvin tällaisia kokeiluja. Kaikki opiskelijat eivät varmasti matemaattiseen pohdiskeluun innostu, mutta ei toki tarvitsekaan.  Riittää, että jotkut innostuvat, heille tarjotaan mahdollisuus, ja muille syntyy periaatteellinen mielikuva matematiikasta koulukurssia laajempana työkaluna ja tieteenä.

Odottaisin matematiikan didaktikkojen paljon nykyistä voimakkaammin vastaavan tietotekniikan tuomaan haasteeseen. Kyseessä on muutos, jossa joudutaan miettimään uudelleen eksaktin, todistamiseen perustuvan matematiikan ja käytännöllisen tai kokeilevan, laskennallisen matematiikan välinen suhde.  Lisäpiirre tulee ohjelmoinnin opetuksesta: se on hyvä työkalu matematiikan opiskeluun, mutta kaikki ohjelmointi ei suinkaan ole matematiikkaa.  Ainakin Suomen ulkopuolelta kaipaamaani mielenkiintoa on toki löytynytkin: Varsin suurta suosiota saavuttanut GeoGebra on ymmärtääkseni peräisin opettajankoulutuslaitokselta. Muutakin vastaavaa lienee.

Maailma muuttuu eikä paluuta menneeseen ole. Tietotekniikka on tullut jäädäkseen eikä matematiikkakaan ole täysin entisensä. Meillä riittää opittavaa.