perjantai 23. tammikuuta 2015

Kaksi vaikeaa: matematiikan aloituskurssi ja laskin

Lukion opetussuunnitelmien laatiminen kirvoittaa vähitellen keskusteluja, jollaisia olisi pitänyt käydä jo paljon aikaisemmin. Jos jotakin uutta halutaan, näkemykset kypsyvät hitaasti, ei yksinomaan oppilailla, vaan meillä kaikilla. Ongelmana vain on, että opetussuunnitelmatyö ei anna aikaa tähän. Loogista olisi vaipua epätoivoon ja luovuttaa, mutta jos nyt kuitenkin. (Matemaatikon ja juristin logiikan ero on siinä, että matemaatikko päättelee aukottomasti joutuneensa umpikujaan ja luovuttaa; juristi tekee reiän, josta tulee ulos.)

Yhteisen aloituskurssin rakentaminen on uuden opetussuunnitelman vaikein asia. Yhtäältä sen täytyy antaa mahdollisuus vähitellen kypsyä matematiikkaan eikä se siis saa olla liian vaativa. Toisaalta sen täytyy sisältää jotakin oleellista, joka kantaa eteenpäin matematiikan opinnoissa, olipa kyseessä lyhyt tai pitkä matematiikka.

Toinen ongelma syntyy laskimien ja tietokoneiden käytöstä. Mielipiteet jakautuvat: Konservatiivit pelkäävät laskimien tuhoavan loputkin matematiikan osaamisesta ja mielellään kieltäisivät tekniikan käytön kokonaan. Tekniikkaan innostuneet uudistajat odottavat tietotekniikan käytön avaavan rajattomien mahdollisuuksien aikakauden, jossa oppimisesta tulee helppoa. Todellisuus on jossakin tällä välillä. Laskimia — tai mitä uusia välineitä lähivuosina tuleekaan — pitäisi hyödyntää matematiikan opiskelussa varsinaista tavoitetta unohtamatta.

Funktio on matematiikan ehkä tärkein käsite. Aloituskurssin voisi rakentaa tämän ympärille, jolloin voidaan kerrata lausekkeiden käsittelyä, piirtää kuvaajia (käsin ja tekniikalla), pohtia funktion abstraktia määrittelyä, määritellä vaikka trigonometriset funktiot (jopa käänteisfunktioineen!), oppia käyttämään laskinta työvälineenä, kurkistaa varovasti sovelluksiin jne. Kaikki hyödyksi sekä pitkässä että lyhyessä matematiikassa.  Hyvin tehtynä voisi auttaa myös siihen, että maa ei olisi täynnä ihmisiä, jotka sanovat etteivät ole koskaan ymmärtäneet matematiikkaa eikä siitä mitään hyötyä ole ollut.

Jospa aloitettaisiin aloituskurssi laskimista ja tietokoneista, kun tämä maailma sellaisia tuntuu käyttävän ja meille niitä tarjoaa. Ehkä niistä olisi jotakin iloa. Seuraavaan tapaan:

-----

Mitä ne näppäimet tekevät?

Ne ovat funktioita: jokin luku sisään, toinen tulee ulos.

Mitä ne funktiot ovat?

Matematiikan tärkein käsite: abstrakti määrittely.

Mistä ne luvut tulevat?

Funktio on määriteltävä: lausekkeella, geometrisesti (trigonometria), havainnoista (lämpötila ajan funktiona tai paikan funktiona), on myös kahden (ja useammankin) muuttujan funktioita tai kokonaislukumuuttujan funktioita, paljon muuta.

Voiko niitä jotenkin nähdä?

Niistä voi piirtää kuvaajia ($\mathbb{R}^2$, $\mathbb{R}^3$, $\mathbb{R}^?$, empiirinen data, ...).

Mitä kuvaajista voi nähdä?

Tulosta paperille ja ota viivoitin esiin. Mittaa vaikka seuraavia ...

Miksi funktiot ovat niin tärkeitä?

Niitä käytetään sekä sovelluksissa että teoriassa (koronkorko, verotus, resonanssivärähtely, lämpötila aamuisin Helsingissä tai ydinreaktorin sydämessä, alkulukujen tai yo-arvosanojen jakauma, ...).

Mitä se $2^{1/2}$ tarkoittaa, kun laskinkin saa siitä jotakin?

Jos vanhat laskusäännöt pitävät paikkansa, niin $(2^{1/2})^2 = 2$. Siis ...

-----

Kyllä tästä kurssi syntyy. Avaa näköaloja ja opettaa jotakin, joka kantaa hedelmää myöhemmin.  Ei tosin ole aksiomaatikon näkemysten mukainen, mutta aloituskurssin ei pidäkään. Täsmällisyyden paikka on sitten pitkän matematiikan kakkoskurssista eteenpäin.

1 kommentti:

Nimetön kirjoitti...

Miten olisi aloituskurssiksi logiikka? Rationaalisen ajattelun lähtökohta.