tiistai 9. huhtikuuta 2013

Potenssin integraalifunktio

Potenssi $x^n$ integroidaan tunnetusti kaavalla \[ \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.  \] Poikkeuksena on arvo $n = -1$, jolloin \[ \int \frac{1}{x}\,dx = \ln(x) + C.  \]

Peruskursseja luennoidessani en ole koskaan tullut miettineeksi, syntyisikö erikoistapaus peruskaavasta rajaprosessilla $n \to -1$ enkä muista nähneeni tällaista myöskään oppikirjoissa. Jotenkin luonnolliselta ajatus kuitenkin tuntuisi. Eihän kyseessä voi olla kaksi täysin toisistaan riippumatonta faktaa.

Tutkimisen voisi laskentaohjelmien aikakaudella aloittaa luonnollisimmin piirtelemällä kuvaajia. Tämähän sujuu helposti ja sillä näkee, onko ajatuksessa mitään mieltä. Koska integraalifunktioihin liittyy määräämätön vakio $C$, on luonnollista panna käyrät kulkemaan saman pisteen kautta. Olkoon siis vaikkapa $x = 1$ jokaisen kuvaajan nollakohta, jolloin on piirrettävä käyrät \[ y = \ln(x) \quad\text{ja}\quad y = \frac{x^{n+1}}{n+1} - \frac{1}{n+1} \] sopivilla eksponentin $n$ arvoilla.

Liitekuva on tehty GeoGebralla. Kun liukusäätimellä pienennetään parametria $h$, eksponentit lähestyvät ylhäältä ja alhaalta arvoa $n = -1$ ja kuvaajat muuttuvat vastaavasti. Näyttävät lähestyvän logaritmikäyrää.

Seuraava askel olisi katsoa, mitä symbolilaskenta antaa raja-arvoksi \[ \lim_{n \to -1} \left(\frac{x^{n+1}}{n+1} - \frac{1}{n+1}\right).  \] Tuloksena on $\ln(x)$ ja asia siis näyttäisi olevan selvä. Symbolinen ohjelma on kuitenkin käyttäjälle musta laatikko, joka toivottavasti laskee oikein. Lähempää tietoa tuloksen perusteista se harvoin antaa.  Wolfram|Alpha pyrkii olemaan poikkeus, mutta tässä tapauksessa se ei minusta varsinaista valoa asiaan tuo, vaikka jonkinlaiset perusteet onkin mahdollista saada.

Lausekkeen voi kirjoittaa muotoon \[ \frac{x^h-1}{h} \quad (h = n+1) \] ja soveltaa tämän jälkeen l'Hospitalin sääntöä $h$:n suhteen. Perustavampaa olisi kuitenkin palauttaa raja-arvo eksponenttifunktion derivaatan määrittämiseen, kyseessähän on erotusosamäärä. Eksponenttifunktion derivaatan puolestaan voi perustella eri tavoin riippuen siitä, mikä useista vaihtoehdoista on otettu määritelmäksi. Pohjalla voi esimerkiksi olla Neperin luvun määrittely raja-arvona: \[ e = \lim_{p \to \infty} \biggl(1 + \frac{1}{p}\biggr)^p.  \]

Täten onkin johduttu analyysin perusraja-arvoihin! Lukija miettiköön, miten Neperin luvun määrittelystä päästään eksponenttifunktion derivaattaan. (Vihjeeksi Iso-M-tietosanakirjan funktion raja-arvoa käsittelevä artikkeli.)

Ei kommentteja: