Digijoulu

Tonttu Digi Bittinuttu oli toiminut Joulupukin Paja Oy:n logistiikkapäällikkönä melkein 100 vuotta. Hän oli tullut taloon nuorena tonttuna yli 200 vuotta sitten sulkemaan joulupaketteja lakalla ja ollut tuolloin nimeltään Petteri Pikkunuttu. Hän oli vähitellen edennyt urallaan, kohonnut logistiikkapäälliköksi ja viimeisen 70 vuoden aikana kiinnostunut tietotekniikan tarjoamista mahdollisuuksista. Häntä oli tämän takia alettu kutsua Bittinutuksi ja hän oli lopulta virallistanut sen nimekseen. Tämän jälkeen hän oli saanut uuden lyhyemmän lempinimen "Digi".

Joulupukin Pajan periaatteena oli edelleen, että lahjat jaetaan pulkkakuljetuksilla ja käyttövoimana on poro.  Digin tehtävänä oli näiden järjestely ja se harmitti häntä tavattomasti. Hän olisi jo kauan halunnut siirtyä modernimman tekniikan käyttöön (mönkijöitä, putkijärjestelmiä, droneja, kevyitä suihkukoneita, raketteja jne.), virtuaalilahjat voitaisiin toimittaa perille yksinomaan sähköisesti. Koko järjestelmä kuljetusreitteineen olisi kaivannut optimointia. Mutta Pajan johdossa oleva Joulupukki oli auttamattoman konservatiivinen, pulkista ja poroista ei luovuta, virtuaalilahjoihin ei siirrytä. Vaikka lahja olisi ollut ohjelmistotuote, se talletettiin muistitikulle, joka pakattiin kauniiseen joulupakettiin. Pulkkauratkin olivat pyhiä, vaikka lunta ei sataisikaan.

Digi alkoi vähitellen kyllästyä ja suunnitteli uusiin kuvioihin siirtymistä. Hän oli kaikessa hiljaisuudessa perustanut startup-yrityksen, jonka ideana oli joulun kaikinpuolinen digitalisointi. Joulupukin Pajan tontuilla oli kyllä kilpailukielto ja salassapitosopimus, joka kattoi irtisanoutumisen jälkeiset 100 vuotta jouluun liittyvien toimintojen osalta, mutta Digi arveli saavansa tarvittaessa korkeimman oikeuden uskomaan, että digijoulu on täysin eri toimiala.

Startup-yrityksen ensimmäinen hanke oli virtuaalijoulukuusen kehittäminen. Tämä sai nimekseen X-Spruce ja se voitiin räätälöidä asiakkaan toiveiden mukaan. Kuusi generoitiin matemaattisella algoritmilla, jonka parametrien arvot asiakas valitsi. Se toimitettiin verkon kautta koodina, jonka avulla asiakas saattoi katsella kuusta eri puolilta, luoda olohuoneeseensa laajennetun todellisuuden joulukuusineen tai tulostaa kuusen 3D-tulostimella. Muitakin mahdollisuuksia kehitettäisiin myöhemmin. Toistaiseksi kyseessä oli prototyyppi, joka oli vielä varsin köyhä esimerkiksi koristeiden suhteen.

Generointialgoritmin pohjana oli ruuviviiva \[c(u) = (r\cos(wu), r\sin(wu), au),\] missä $r$, $w$ ja $a$ olivat asiakkaan valitsemia parametreja. $r$ saattoi olla myös käyräparametrista $u$ riippuva funktio $r(u)$ asiakkaan valinnan mukaan. Ruuviviiva määräsi kuusen oksien ulottuvuuden rungosta.

Paitsi ruuviviivaan oksat tuettiin kuusen runkoon pisteeseen $q(u) = (0,0,au+b)$. Tämä oli parametrista $b$ riippuen joko ylempänä tai alempana kuin ruuviviivalla oleva oksan toinen pää. Oksat suuntautuivat tällöin joko ylös- tai alaspäin. Parametrin $b$ valitsi asiakas. Kuusen oksia kuvattiin tällöin lausekkeella \[s(u,v) = vc(u) + (1-v)q(u).\] Tämä esittää ruuvipinnaksi kutsuttua pintaa, jolla oksat sijaitsevat. $u$ ja $v$ ovat pintaparametrit, $u \ge 0$, $0 \le v \le 1$.

Kuusen tuuheuttamiseksi sen rakenne saattoi perustua useaan ruuviviivaan.

Prototyypissä ei vielä ollut muita koristeita kuin dodekaedriin perustuva latvatähti.

Esimerkiksi valintoihin \[r(u) = \frac{60-u}{15},\ w_1 = 1,\ w_2 = 0.8,\ a = 0.2,\ b = 1\] pohjautuva kahden ruuviviivan kuusi näytti seuraavalta:

Saadakseen käsityksen markkinoista Digi päätti julkaista kuusesta 3D-tulostimelle tarkoitetun koodin, joka oli laadittu Mathematicalla: x_spruce.stl (32 MB). Toiveena on, että 3D-tulostimen omistavat potentiaaliset asiakkaat kokeilevat tulostusta ja raportoivat kokemuksistaan. Digi odottaa tuloksia jännittyneenä.

Matemaattista kirjallisuutta maailmalta

Nelikulmiossa jokainen kärki yhdistetään vastakkaisen sivun keskipisteeseen kuvion osoittamalla tavalla.  Onko sininen ala yhtä suuri kuin punainen ala?

Selasin American Mathematical Societyn Notices-lehtiä. Jäsen voi saada painetun lehden, joka tulee, kunhan Atlantin takaa ehtii, mutta sähköiset versiot ovat kaikille avoimia ja myös aihepiireittäin selattavissa: https://www.ams.org/notices/. Paljon muun ohella sisältävät myös matematiikan opetukseen ja popularisointiin sopivien kirjojen esittelyjä. Nämä ovat usein sellaisia, että tekee mieli tutustua niihin tarkemminkin.

Kirjojen kieli on tietenkin lähes poikkeuksetta englanti, mutta tämänhän ei liene nyky-Suomessa ongelma.  Monista kirjoista on sähköinen versio, jonka lataaminen ei kauan kestä, ja hankinta on siis helppoa. Painetunkin toki saa, mutta posti kulkee niin kuin kulkee. Lahjana painettu on varmaan parempi kuin muistitikulle talletettu digiversio. Verkkokaupoista voi etsiä, kustantajasta riippuen ainakin https://www.amazon.com/, https://bookstore.ams.org/ ja https://press.princeton.edu/ ovat kiinnostavia.

En tiedä, hankitaanko tämäntyyppisiä kirjoja Suomeen kovinkaan paljoa. Lähinnä voisi ajatella opettajakoulutukseen liittyviä yliopistokirjastoja, oppikirjoja tekeviä kustantajia ja opettajajärjestöjä, miksei myös yksittäisiä opettajia. Erilaiset näkökulmat voisivat tuoda uusia herätteitä jokaiselle matematiikkaa opettavalle tai harrastavalle ja näyttää, että totuttu tapa katsoa asioita ei ole ainoa mahdollinen eikä välttämättä edes paras.

Seuraavassa muutama esimerkki loka- ja marraskuun numeroissa esitellyistä kirjoista, joista kiinnostuin.

Daniel J. Velleman, Stan Wagon; Bicycle or Unicycle?: A Collection of Intriguing Mathematical Puzzles; MAA Press, Jason Rosenhousen esittely. Kirja koostuu 105 ongelmasta tai pulmatehtävästä, englanniksi puzzle. Näiden vastakohta on problem, joka oppikirjaterminologiassa tarkoittaa perinteistä (matematiikan) harjoitustehtävää. Puzzlet rinnastuvat pikemminkin esimerkiksi vanginlukkoon ja niiden ratkaiseminen on yhden tai muutaman, enemmän tai vähemmän matemaattisen idean varassa. Yllä olevassa kuvassa on yksi esimerkki, jonka ratkaisua en paljasta. Kirjasta se kyllä löytyy.

Stephen H. Saperstone, Max A. Saperstone; Interacting with Ordinary Differential Equations; MAA Press, Stephen Kennedyn esittely. Kyseessä on differentiaaliyhtälöiden oppimateriaali, e-kirja, modernein tietotekniikan mahdollistamin painotuksin.  Kirjan ostaminen tarkoittaa kuuden kuukauden lisenssiä web-palvelimelle, jonka materiaali mahdollistaa laskentavälineiden käytön. Taustalla on laskentaohjelma Mathematican pilvipalvelu. Vaikka digitaalimaailmaan ei innostuisikaan, mahdollisuuksiin kannattaa minusta perehtyä. Niiden järkevä käyttötapa ei ole itsestään selvää, mutta kokeiluihin perehtyminen kehittää omaa näkemystä. Tätä yritin itsekin jo lähes kaksikymmentä vuotta sitten kirjassani DelTa — Tavalliset differentiaaliyhtälöt.

Róbert Freud, Edit Gyarmati; Number Theory; esittely samassa yhteydessä kuin edellisen kirjan. Unkarilaisen hyvin suositun lukuteorian oppikirjan käännös englanniksi. Alkeista lähdetään ja aika pitkälle päästään. Ilman tarkempaa perehtymistä on tietysti vaikea sanoa, miten kirja suhtautuu moniin muihin lukuteorian oppikirjoihin ja miten se soveltuu vaikkapa luentokurssin pohjaksi. Unkarilainen tausta kuitenkin kiinnostaa.

David M. Bressoud; Calculus Reordered: A History of Big Ideas; Princeton University Press, esittely Stephan Ramon Garcia. Calculuksen — differentiaali- ja integraalilaskennan — historia Välimeren hellenistisestä maailmasta 1900-luvulle, Arkhimedeestä Gödeliin. Melkoinen kaari siis. Esittelijä pitää kirjaa ajatuksia herättävänä lukemistona jokaiselle calculuksen opettajalle.

Grady Klein, Yoram Bauman; The Cartoon Introduction to Calculus; esittely samassa yhteydessä kuin edellisen kirjan. Hieman kevyempi näkemys calculuksesta. Vaikeata sanoa, mikä on tämän merkitys opiskelulle, mutta koulukirjaa hauskempi voi toki olla.

Eksponenttifunktiosta

Napierin logaritmeja koskevan teoksen kansilehti

Varsinaisen eksponenttifunktion $e^x$ kantalukua $e$ kutsutaan Neperin luvuksi skotlantilaisen matemaatikon John Napierin (1550–1617) mukaan. Neper oli hänen nimensä latinalaistettu muoto. Napier pyrki helpottamaan pitkien lukujen kertolaskua muuntamalla sen logaritmien yhteenlaskuksi. Tässä hän oleellisesti käytti eksponenttifunktiota esittämättä asiaa kuitenkaan näin. Myöskään nimeään kantavaan lukuun hän ei viittaa. Sen tunnisti merkittäväksi matemaattiseksi vakioksi Jacob Bernoulli (1655–1705) ja symbolin $e$ otti käyttöön Leonhard Euler (1707–1783).

Eksponenttifunktiota ja Neperin lukua käytti ainakin Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) vuonna 1691 julkaisemassaan ketjukäyrää — päistään kiinnitetyn vapaasti roikkuvan ketjun muotoa — koskevassa tutkimuksessaan. Tällöin hän myös laski varsin tarkan likiarvon Neperin luvulle.

Leibnizin muistiinpanoja Neperin luvun laskemiseksi

Ajan kuluessa tietämys eksponenttifunktion ominaisuuksista on lisääntynyt ja tavat sen määrittelyyn ovat hioutuneet. Edellisessä postauksessani esittelin neljä erilaista nykyään käytettyä tapaa määritellä eksponenttifunktio ja johtaa sen ominaisuudet määritelmästä lähtien. Voidaan kuitenkin menetellä myös toisinpäin: lähdetään funktion perusominaisuuksista ja katsotaan, millaiseen funktioon tällöin päädytään. Kun aikoinaan aloitin matematiikan opintoni Helsingin yliopistossa, eksponenttifunktiota tarkasteltiin näin, mikä oli minulle — lyhyen matematiikan lukiossa lukeneelle — hieman hämmentävää.

En muista tätä esitystä nähneeni pitkään aikaan missään muussa oppikirjassa kuin Juhani Pitkärannan teoksessa Calculus fennicus. Tämä on kooltaan amerikkalaisten calculus-kirjojen luokkaa oleva yli tuhatsivuinen opus, joka kuitenkin on tiukkaa asiaa eikä lainkaan amerikkalaisen tradition mukainen.  Suosittelen lämpimästi henkilölle, joka haluaa huolella perehtyä yliopistotasoiseen peruskurssimatematiikkaan.  Kirja on tehty Teknillisen korkeakoulun (sen otaniemeläisen) laajalle peruskurssille, mutta ei taida olla käytössä oppikirjana enää missään. Sääli. Fyysisen kirjan painos näyttää olevan lopussa, mutta sähköinen versio on olemassa.

Miten eksponenttifunktiota sitten tässä lähestytään?

Lähtökohtana ovat perusominaisuudet: \[ E(0) \neq 0, \quad E(x+y) = E(x)E(y) \] kaikilla reaalisilla $x$, $y$. Lisäksi vaaditaan, että $E$ on jatkuva ja derivoituva origossa. Muuta ei funktiosta $E$ tarvitsekaan olettaa.

Voi tietenkin kysyä, miksi juuri tällaiset perusominaisuudet eikä jotakin muuta. Nämä ovat kuitenkin luonnollisia ominaisuuksia fysikaalisille kasvu- ja vaimenemisongelmille, joten niistä on hyvä lähteä, jos tarkoituksena on sopivan matemaattisen työkalun luominen. Tämä tosin on jälkiviisautta, historiallisesti eksponenttifunktio ei ole syntynyt näin.

Lähtökohdista saadaan vaiheittain suhteellisen yksinkertaisilla laskuilla $E(0) = 1$ ja $E(x) > 0$ kaikilla reaalisilla $x$. Seuraavaksi osoitetaan, että $E$ on kaikkialla jatkuva ja sille saadaan lauseke $E(x) = b^x$, kun $x$ on rationaalinen ja $b = E(1)$. Funktio on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä riippuen siitä, onko $b > 1$ vai $b < 1$. Koska $E$ on origossa derivoituva, on olemassa $E'(0) = a$.  Tästä seuraa helposti, että $E$ on kaikkialla derivoituva ja $E'(x) = a E(x)$.

Eksponenttifunktion karakteristiset ominaisuudet purkautuvat siis varsin helposti, mutta avoimeksi jää funktion olemassaolo. Vakiofunktio $E(x) = 1$ epäilemättä toteuttaa ehdot ja tällöin $b=1$, $a=0$.  Onkin hieman isompi työ osoittaa, että tämä ei ole ainoa mahdollisuus, vaan funktio on olemassa kaikilla vakion $b$ positiivisilla arvoilla. Jos erityisesti $b$ on Neperin luku, on $a = 1$ ja saadaan varsinainen eksponenttifunktio.

En mene yksityiskohtiin. Lukija löytää ne Juhani Pitkärannan kirjasta.

Tällainen eksponenttifunktion käsittely ei ole oppikirjoissa kovin yleinen ja tuskin sopii ensimmäiseksi näkökulmaksi aiheeseen. Kuitenkin se kertoo jotakin olennaista matemaattisen päättelyn luonteesta ja sellaisena on minusta paikallaan yliopistotason matematiikan opiskelijoille. Lukio-opettajan ja ehkä joidenkin oppilaidenkin näkemystä se saattaisi monipuolistaa tuomalla matematiikan uuteen valoon kaavakokoelma-ajattelun sijaan.

Eksponenttifunktion tarina ei pääty tähän, vaan sitä voidaan jatkaa vakion $b$ negatiivisiin arvoihin. Tällaisiahan monet matemaattiset ohjelmistot laskevat sujuvasti. Tällöin kuitenkin siirrytään siinä määrin uusille alueille, että en jatka tässä.

Matematiikan ja sen opettamisen kumulatiivisuudesta

Eräs reaaliluku

Yliopistotason kurssi matemaattisesta analyysista — differentiaali- ja integraalilaskennasta — alkaa usein reaalilukujen aksioomilla. Periaatteellisena ajatuksena on rakentaa analyysi näiden päälle: muodostetaan uusia käsitteitä, asetetaan määritelmiä ja todistetaan lauseita vetoamalla vain aksioomiin tai niiden avulla aiemmin muodostettuihin rakenteisiin. Tämä kuitenkin jää hyvin periaatteelliseksi. Jo yksinomaan epäyhtälön $1 > 0$ todistaminen huolellisesti aksioomiin vedoten on monivaiheinen prosessi. On siis pakko luottaa siihen, että opiskelijat ovat koulussa hankkineet lujan ja toivottavasti oikeanlaisen uskon reaalilukuihin.

Analyysin kurssi voitaisiin tietenkin aloittaa hieman kauempaakin. Voitaisiin ottaa lähtökohdaksi Peanon aksioomien avulla määritellyt luonnolliset luvut ja rakentaa näiden avulla ensin kokonaisluvut, sitten rationaaliluvut ja näiden avulla lopuksi reaaliluvut. Prosessi on aika pitkä ja raskas eikä kovin mielenkiintoinen. Tosin reaalilukujen konstruointi joko Dedekindin leikkausten tai Cauchyn jonojen avulla kertoo ajattelevalle opiskelijalle jotakin olennaista reaaliluvuista. Jos taas ei jää pohdiskelemaan, prosessi on erittäin tylsä. Opetuksen kannalta ongelmana on, että opiskelija jo osaa laskea luvuilla yleensä varsin hyvin, joten miksi tuhlata aikaa pohdiskeluihin.

Puhdasoppinen matemaatikko ei tyytyisi luonnollisiin lukuihinkaan, vaan aloittaisi joukko-opin aksiomatiikasta.

Mitä koulussa sitten pitäisi kertoa reaaliluvuista? Ainakin jotakin, mikä luo lujan uskon niihin ja antaa pääpiirteissään oikean ymmärryksen. Ehkä enemmän kulttuurihistorian puolelle menee kertomus pythagoralaisista, joille ihmetyksen ja hämmennyksen aiheena oli päättely, joka osoitti, että tasakylkisen suorakulmaisen kolmion kateetin ja hypotenuusan pituutta ei voida tasan mitata samalla mittatikulla, olipa tämä miten lyhyt tahansa. Seurauksena tulee todetuksi, että $\sqrt{2}$ ei ole rationaaliluku, kuten asia meidän aikanamme ilmaistaan. Pohtimisen arvoista on myös, onko $0.99999\dots = 1$. Yleensä ei pidetä selvänä, että vastaus on myönteinen.

Koulutasolla reaaliluvuista riittäneekin mielikuva, että jos on jotakin, jolle voidaan laskea yhä tarkempia likiarvoja (tai jopa täsmällinen arvo), niin tämä jokin on olemassa ja sitä kutsutaan reaaliluvuksi. Tällainen mielikuva menee varsin lähelle Cauchyn jonojen ideaa (mitä ei tarvitse koululaisille kertoa).

Tämän jälkeen tie on auki funktioiden jatkuvuuteen, raja-arvoihin, differentiaali- ja integraalilaskentaan.  Joissakin kohdissa kuitenkin tulee ongelmia. Esimerkiksi Bolzanon lause — jos jatkuva funktio vaihtaa merkkiään suljetulla välillä, niin välillä on ainakin yksi nollakohta — saa usein tarpeettoman juhlallisen sävyn.  Asiahan on selviö, jos jatkuvuus mielletään vain kuvaajan yhtenäisyytenä. Kuitenkaan lause ei päde, jos tarkastelu rajoitetaan rationaalilukuihin. Reaaliluvut rationaaliluvuista erottavan täydellisyysaksiooman täytyy siis olla lauseen kannalta oleellinen.

Pitävän todistuksen esittäminen Bolzanon lauseelle ei siten ole mahdollista, jos käsitys reaaliluvuista perustuu lujaan uskoon, eikä tätä koulutasolla onneksi yritetäkään. Tiukkaan kumulatiivisuuteen jää aukko ja se voisi olla hieman isompikin: Bolzanon lausetta voisi pitää selviönä antamatta sille edes nimeä. Ajattelevaisen lukiolaisen ei tarvitsisi ihmetellä, mikä lauseesta tekee juhlallisen. Vielä enemmän ajattelevaiselle voi sitten kertoa reaaliluvuista syvemmin.

Alkeisfunktioiden (potenssit, eksponenttifunktio, trigonometriset funktiot, näiden käänteisfunktiot sekä näistä peruslaskutoimituksilla ja funktioiden yhdistämisellä saatavat funktiot) kohtuullisen tarkkaan kumulatiiviseen määrittelyyn on syytä kiinnittää huomiota eikä vain antaa valmiita kaavoja tai tuloksia.  Funktioistahan koululainen jo jotakin tietää laskimen näppäinhattujen tai tietokoneen käytön perusteella, mutta määrittelyprosessi kertoo jotakin oleellista matematiikan luonteesta.

Tietyn alkeisfunktion määrittelyyn voi olla useita teitä. Eksponenttifunktio on tästä hyvä esimerkki:

1) Lähtökohdaksi voidaan ottaa, että kyseessä on potenssi, jossa hieman mystillisesti määritelty luku \[e = \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n\] korotetaan muuttujan $x$ ilmaisemaan potenssiin. Tätä varten on ymmärrettävä, mitä tarkoittaa raja-arvo ja miten potenssit määritellään, kun eksponentti on kokonais-, rationaali- tai irrationaaliluku.

2) Voidaan myös antaa määritelmä muuttujasta riippuvana raja-arvona: \[\exp(x) = \lim_{n \to \infty} (1+\frac{x}{n})^n.\] Raja-arvon olemassaolon lisäksi ongelmana on potenssin laskusääntöjen osoittaminen: $\exp(x)\exp(y) = \exp(x+y)$ jne.

3) Voidaankin ensin määritellä käänteisfunktio: \[\ln(x) = \int_1^x \dfrac{dt}{t}.\] Tämän käänteisfunktio on $\exp(x)$. Tarvitaan tieto integraalin määrittelystä ja olemassaolosta, kun integroitavana on jatkuva funktio. Lisäksi on pääteltävä käänteisfunktion olemassaolo. Potenssin laskusäännöt on osoitettava.

4) Myös sarjamäärittely on mahdollinen: \[\exp(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}.\] Täytyy osoittaa, että sarja suppenee ja että potenssin laskusäännöt ovat voimassa.

Mikään näistä teistä ei ole aivan helppo, vaan joudutaan vetoamaan aiemmin esitettyihin käsitteisiin ja tuloksiin. Kumulatiivisuus on oleellista ja jollakin tavoin tähän haasteeseen täytyy opetuksessa vastata, vaikka kaikkia yksityiskohtia ei ehkä voidakaan — tasosta riippuen — huolellisesti käsitellä.  Matematiikan kumulatiivisen luonteen tulee näkyä, jotta mielikuva ei jää kaavakokoelman ja laskinohjelman tasolle.

Mikä edellä olevista eksponenttifunktion määrittelytavoista sitten on paras? Ei tähän ole vastausta.  Riippuu yhteydestä ja varmaan myös opettajan mieltymyksistä.

Newtonin iteraatio ja kaoottisuus

 

Yhtälön $f(x) = 0$ ratkaiseminen Newtonin iteraatiolla

Jos yhtälön $f(x) = 0$ ratkaiseminen ei onnistu algebrallisella manipuloinnilla, voi yrittää ratkaisun likarvon etsimistä jollakin numeerisella menettelyllä. Toisen asteen yhtälön ratkaiseminen algebrallisesti tunnetusti onnistuu, kolmas aste on jo vaikeampi (vaikkei mahdoton). Ehkä tunnetuin numeerinen menetelmä on Newtonin iteraatio, jossa lähdetään jostakin ratkaisun $x^*$ likiarvosta $x_0$ ja tarkennetaan tätä askel askeleelta. Periaatteena on asettaa käyrälle $y = f(x)$ tangentti pisteeseen $(x_0,f(x_0))$ ja etsiä tarkempi likiarvo tangentin ja x-akselin leikkauspisteestä $x_1$. Toistamalla askel uudesta likiarvosta $x_1$ lähtien saadaan seuraava likiarvo $x_2$ jne. Tuloksena on lukujono $x_0,\ x_1,\ x_2,\ \dots$, joka suppenee kohden ratkaisua $x^*$, jos alkuarvo $x_0$ on ollut riittävän lähellä.

Iteraatiokaavaksi, jolla seuraava likiarvo lasketaan edellisestä, saadaan
\[
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
\]
muodostamalla edellä mainitun tangentin yhtälö.

Lukija voi kokeilla vaikkapa yhtälön $x^4 - 2 = 0$ ratkaisemista eri alkuarvoista $x_0$ lähtien.

Newtonin menetelmä voidaan monella tavoin yleistää. Periaatteessa samalla idealla voidaan ratkaista esimerkiksi kahden tuntemattoman yhtälöpari $f(x,y) = 0,\ g(x,y) = 0$ tai etsiä kompleksilukuratkaisu yhtälölle $f(z) = 0$. Jälkimmäisessä tapauksessa toimii sama iteraatiokaava kuin edellä, vaikka sen johtamisessa ei voidakaan käyttää samaa tangentti-ideaa.

Jos yhtälöllä on useita ratkaisuja, saadaan yleensä tietty ratkaisu aloittamalla riittävän lähellä olevasta likiarvosta. Newtonin menetelmän ominaisuus kuitenkin on, että suppeneva jono saadaan aloittamalla melkein mistä tahansa pisteestä, mutta ei ole niinkään helppoa sanoa, mitä ratkaisua kohden jono suppenee.

Yhtälöllä $z^3 - 1 = 0$ on kompleksitasossa kolme ratkaisua: $z = 1$, $z = -\frac{1}{2}(1-i\sqrt{3})$ ja $z = -\frac{1}{2}(1+i\sqrt{3})$. Aloittamalla Newtonin iteraatio jostakin kompleksitason pisteestä saadaan melkein aina jono, joka suppenee kohden jotakin ratkaisua. Mikä näistä on kyseessä, vaihtelee kuitenkin kaoottisella tavalla. Jos ratkaisuja em. järjestyksessä kutsutaan punaiseksi, vihreäksi ja siniseksi ratkaisuksi ja aloituspiste väritetään sen mukaan, mitä ratkaisua kohden jono suppenee, saadaan oheinen kuva. Mitä vaaleampi värisävy, sitä nopeammin jono on supennut.

Suppenemisalueet erivärisiin juuriin

Moni on varmaankin nähnyt kuvan, sillä se on julkaistu lukemattomia kertoja niin painetuissa kuin verkkodokumenteissakin. Oheinen on tehty Takashi Kanamarun vapaasti jakamalla ohjelmalla. Kyseessä on esimerkki kaoottisesta käyttäytymisestä tai fraktaaleista: tietyissä kohdissa pienikin muutos aloituspisteessä muuttaa suppenemisen kohdetta; rakenne toistuu periaatteessa samanlaisena yhä pienemmissä mittakaavoissa.

Osasuurennos edellisestä kuvasta

Suppeneminen ei välttämättä tapahdu kovin suoraviivaisesti, vaan heilahtelua saattaa olla, kuten alla oleva kuva osoittaa. Laskenta ja animointi on tehty Mathematicalla. Animaatiosta on saatavissa myös video, jossa aloituspiste liikkuu hitaasti punaisen aloitusympyrän sisällä ja likiarvopisteiden muodostama jono heilahtelee voimakkaasti. Eräänlainen epäjatkuvuusilmiö tämäkin.

Ratkaisua $z^*$ lähestyvä likiarvojono, kun alkupisteenä on $z_0$

Geodeettinen käyrä 2

Pinnan $z=\sin(x)\sin(y)$ geodeettinen käyrä

Piirtelin geodeettisia käyriä aiemmassa postauksessani ja lupasin vielä palata asiaan.

Pinnan geodeettisen käyrän voi luonnehtia kahta pinnan pistettä yhdistävänä lyhimpänä pintaa pitkin kulkevana tienä. Toinen vaihtoehto on ajatella käyrää mahdollisimman suorana pintaa pitkin kulkevana tienä. Valitaanpa kumpi tahansa, niin käyrälle voidaan johtaa differentiaaliyhtälö, jonka ratkaisuna käyrä saadaan, kuten aiemmin hahmottelin. Differentiaaliyhtälö voidaan kuitenkin ratkaista alkeisfunktioiden avulla yleensä vain poikkeustapauksissa, ja yleensä on turvauduttava numeeriseen ratkaisemiseen ja siten käyrän approksimaatioon. Riittävään tarkkuuteen pääseminen esimerkiksi piirtämistä varten ei kuitenkaan ole ongelma laskentaohjelmia käytettäessä.

Voisiko käyrän approksimaation sitten löytää jollakin muulla tavalla käyttämättä differentiaaliyhtälöä?  Käyrää voitaisiin approksimoida murtoviivalla, jossa viivan solmupisteet sijaitsevat pinnalla, ja minimoida murtoviivan pituus pitäen muuttujina solmupisteiden koordinaatteja. Tämä johtaa moniulotteiseen minimointiprobleemaan, mutta yleensä laskentaohjelmissa on valmiiksi ohjelmoituina algoritmit tällaisten probleemojen ratkaisemiseen.

Jos pinnan parametriesitys on
\[
s(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)),
\]
voidaan $n$-osaisen murtoviivan solmupisteitä merkitä
\[
s(u_k,v_k) = (x(u_k,v_k),y(u_k,v_k),z(u_k,v_k)), \quad k=0,\dots,n.
\]
Indeksin arvoilla $k=0$ ja $k=n$ saadaan murtoviivan kiinteät päätepisteet $s(u_0,v_0)$ ja $s(u_n,v_n)$, mutta muut parametriarvot $(u_k,v_k)$, $k=1,\dots,n-1$, ovat minimointiprobleeman muuttujia.  Kyseessä on siten $2(n-1)$-ulotteinen minimointiprobleema. Minimoitava funktio — probleeman kohdefunktio — on murtoviivan pituus:
\[
L(u_1,\dots,u_{n-1},v_1,\dots,v_{n-1}) = \sum_{k=1}^n \lVert s(u_k,v_k) - s(u_{k-1},v_{k-1}) \rVert.
\]
Tässä $\lVert s(u_k,v_k) - s(u_{k-1},v_{k-1}) \rVert$ tarkoittaa murtoviivan $k$:nnen osan pituutta.

Yleisesti käytetty minimointialgoritmi ei kuitenkaan suoriudu pelkästään tällä tavalla annetusta minimointitehtävästä, vaan sille on lisäksi annettava muuttujien alkuarvot. Näistä lähtien algoritmi laskee, mihin suuntaan arvoja on muutettava, jotta kohdefunktion arvo pienenee. Muutetut arvot otetaan uusiksi lähtöarvoiksi ja kierros toistetaan. Näin jatketaan, kunnes kohdefunktion arvo ei enää pienene.

Tilanne on periaatteessa samanlainen kuin yhden muuttujan funktion minimikohdan etsiminen lähtemällä jostakin pisteestä ja katsomalla derivaatan avulla, kumpaan suuntaan on siirryttävä, jotta funktion arvo pienenee. Toistamalla askelta ajaudutaan johonkin minimikohtaan, mutta tämä ei välttämättä ole globaali minimi. Lähtöarvon valinnasta siten riippuu, löydetäänkö globaali minimi vai jokin muu.

Funktion $f(x)=\frac{1}{2}x^4+\frac{1}{3}x^3-3x^2$ minimin etsiminen aloittamalla pisteestä $x=0.5$

Moniulotteisessa minimointiprobleemassa tilanne on samanlainen. Alkuarvojen valinnasta riippuu, mikä minimi löydetään. Toisaalta alkuarvojen valinta ei ole yksinkertaista, jos etsittävästä käyrästä ei enempää tiedetä. Usein alkuarvot valitaankin satunnaisesti ja katsotaan, millaisia tuloksia eri tapauksissa saadaan.

Esitetty minimointiprobeeman määrittely on yksinkertainen ja luonnollinen, mutta se sisältää sudenkuopan. Murtoviivan minimipituus nimittäin saadaan kasaamalla kaikki solmupisteet käyrän alku- (tai loppu-) pisteeseen, jolloin murtoviivaan jää vain yksi osa, jonka pituus ei ole $=0$. Tämä on päätepisteitä yhdistävä jänne, joka ei (yleensä) sijaitse pinnalla. Tarvitaan siis jokin lisäehto, joka takaa, että murtoviivan osat eivät lyhene liiaksi. Tällaiseksi kelpaa esimerkiksi vaatimus, että murtoviivan kaikkien osien pituudet $\lVert s(u_k,v_k) - s(u_{k-1},v_{k-1}) \rVert$, $k=1,\dots,n$, ovat keskenään yhtä suuria. Lisäehdot ovat tavanomaisia minimointiprobleemoissa ja valmiiksi ohjelmoiduissa algoritmeissa tällaisia onkin mahdollista antaa.

Lieriön geodeettiset käyrät ovat ruuviviivoja. Alla olevissa kuvissa on kolme vaihtoehtoa samojen päätepisteiden välisistä käyristä. Nämä on saatu valitsemalla toistuvasti satunnaiset minimoinnin alkuarvot 30-osaiselle murtoviivalle.

Laskentaohjelman rönsyt

Olen käyttänyt laskentaohjelma Mathematicaa sen syntymästä saakka, vuodesta 1988. Pääversioita on tähän mennessä kertynyt 12 ja laajentuminen on ollut melkoista. Kyseessä on edelleen pääasiassa matemaattinen laskentaohjelma, mutta rönsyilyä on tapahtunut moneen suuntaan: dynaamisia animaatioita, dokumenttimuoto nimeltään computable document format, ohjelmointikieli, verkkoresursseja, kuvankäsittelyä, kartografiaa jne. Ehkä erikoisimpana Wolfram Researchin tietokanta, josta Mathematican komennoilla voidaan hakea monenlaista silpputietoa. Osittain nämä rönsyt ovat varmaan kokeellisia: katsotaan, mikä voisi olla järkevää ja miten se pitäisi toteuttaa.

En pyri minkäänlaiseen kattavaan esittelyyn, vaan jätän markkinoinnin Wolfram Researchille (https://www.wolfram.com/). Tyydyn kertomaan kartografiaan ja tietokantoihin liittyvistä kokeiluistani kesähelteiden ratoksi.

Wolfram Knowledgebase sisältää mm. luettelon Europpan maista. Jokaisesta maasta löytyy kartografista tietoa ja melkoinen määrä tilasto- ym. dataa. 

Euroopan maat Wolfram Knowledgebasen mukaan

Suomeen liittyvien ominaisuuksien listan alkuosa Wolfram Knowledgebasessa

Tietoja voidaan yhdistellä ja kohdistaa niihin laskutoimituksia computable document format -hengessä. Siten on esimerkiksi mahdollista koostaa kuva Euroopan valtioiden ääriviivoista ja värittää maa harmaasävyllä, joka on sitä tummempi, mitä suurempi on maan pääkaupungin väkiluvun suhde koko maan väkilukuun.

Euroopan maat ääriviivoina

Lukija voi yrittää tunnistaa maat oheisesta kuvasta. Kunkin maan kohdalla mittakaava on mitä on, pohjoinen on kuitenkin kaikissa ylöspäin.

Data on peräisin Wolframin tietokannoista, mutta mistä se on sinne tullut, ei käsittääkseni ilmene.  Lähdekritiikkiä ei siis pääse helposti harjoittamaan. Tietokannassa on Suomen väkiluku vuosittain aika pitkältä ajalta. Otin tiedot sadan vuoden ajalta 1910–2010, piirsin grafiikan ja vertasin Tilastokeskuksen sivuilta saatavaan dataan. Olivat samanlaiset.

Otin vastaavalla tavalla Helsingin väkilukutiedot ja laskin suhteen Suomen väkilukuun vuosittain. Grafiikka tuotti yllätyksen:

Helsingin väkiluvun suhde Suomen väkilukuun vuosittain Wolfram Knowledgebasen mukaan

Tarkempi selvittely osoitti, että tietokannassa ei olekaan Helsingin väkilukua kuin kymmenen vuoden välein ja välivuosina toistetaan samaa lukua. Dataa pyydettäessä tämä ei kuitenkaan ilmene. Suomen väkiluku sen sijaan on vuosittain.

Lähdekritiikki siis on tarpeen. Millä perusteella monet valinnat on tehty, jää myös avoimeksi. Edellä olevassa Euroopan valtioiden luettelossakin on monia, joita ei oikeastaan odottaisi. Vielä selkeämmin tämä tulee esiin pyydettäessä Helsingin osalta luetteloa 'notable people who died in city', joka sisältää 77 henkilöä ja alkaa seuraavasti:

Alvar Aalto, Tom of Finland, Tove Jansson, Paavo Johannes Nurmi, Urho Kekkonen, Mika Waltari, Juho Kusti Paasikivi, Frans Eemil Sillanpää, Artturi Virtanen, Hannes Kolehmainen, Kaarlo Juho Ståhlberg, Carl Ludvig Engel, Harri Holkeri, Rolf Herman Nevanlinna, Timo Sarpaneva, Tapio Rautavaara, Ville Ritola, Paavo Berglund, Leena Peltonen-Palotie, Ernst Leonard Lindelöf, Lauri Kristian Relander, Karl Frithiof Sundman, Edward Vesala, Clas Thunberg, Matti Järvinen, Hjalmar Mellin, Albin Stenroos, Lars Sonck, Tommy Tabermann, Heino Kaski, Richard Stites, J. S. Sirén, ...

Ehkäpä, mutta miksi juuri nämä? Ja onko kuolinpaikka merkityksellinen näkökulma?

Vertailun vuoksi otin Botswanan pääkaupungin Gaboronen 'notable people born in city'. Tuloksena yksi henkilö, Mpule Kwelagobe, jonka 'occupation' on 'beauty queen' ja josta 'notable facts' ei anna mitään. En Botswanan merkkihenkilöistä paljoakaan tiedä, mutta Wikipedia-artikkeli antaa Mpule Kwelagobesta paljon monipuolisemman kuvan.

Edellä sanottu antaa Wolframin tietokannoista ehkä hieman turhan huonon kuvan. Kyllä siellä on hyödyllistä ja hyvin järjestettyäkin tietoa, mutta vaikeata on välttyä silppukokoelman vaikutelmalta. Lähdekritiikkiä ei voi harjoittaa, ajantasaisuus jää avoimeksi. Maailmassa ja verkossa on luotettavampiakin lähteitä. Ihmettelen Mathematican laajentamista tähän suuntaan. On lähdetty puremaan liian suurta palaa. Kaikenkattavuus ei ole järkevä tavoite. Ja lisääkö vai vähentääkö tämä ohjelman arvostusta?

Geodeettinen käyrä

Pallon geodeettinen käyrä (iso ympyrä)	Lieriön geodeettinen käyrä (ruuviviiva)

Minua on aina jollakin tavoin viehättänyt differentiaali- ja integraalilaskennan käyttö geometriassa, ns.  differentiaaligeometria. Käyrät ja pinnat esitetään parametriesityksen avulla, lasketaan kaarenpituuksia, normaalisuuntia, kaarevuuksia, pinta-aloja jne. Vähänkään kummallisemman käyrän tai pinnan tapauksessa johdutaan herkästi mutkikkaisiin lausekkeisiin tai integraaleihin, joiden laskeminen alkeisfunktioiden avulla ei onnistu. Opiskeluaikanani kuvien piirtämisestä tuli työlästä tai lähes mahdotonta. Oppikirjojen tai luentojen esimerkit olivat niitä muutamia lähes itsestään selviä tapauksia, joissa laskeminen ja piirtäminen oli mahdollista.

Helposti käytettävien laskentaohjelmien tulo on muuttanut tilanteen. Hankalista lausekkeista huolimatta kuva syntyy vaivatta (joskus tosin vaivoin); jos symbolinen integrointi ei onnistu, käytetään numeerista.  Jäin miettimään, miltä geodeettiset käyrät mahtaisivat näyttää jollakin hieman kummallisemmalla pinnalla. Pallo ja lieriö ovat helppoja tapauksia, mutta miten olisi vaikkapa ellipsoidi?

Ensin on kuitenkin päätettävä, mitä geodeettisen käyrän luonnehdintaa halutaan käyttää. Tavallisinta lienee ajatella geodeettista käyrää lyhimpänä pintaa pitkin kulkevana käyränä, joka yhdistää kaksi annettua pistettä. Tämä ei kuitenkaan kata koko ongelmaa. Esimerkiksi pallon pinnalla lyhin kahta pistettä yhdistävä käyrä on ison ympyrän kaari, kahdesta pisteitä yhdistävästä kaaresta lyhyempi.  Pallon toiselta puolelta kiertävää pitempää kaarta on kuitenkin järkevää myös ajatella geodeettisena käyränä. Onhan se jonkinlainen 'suora viiva' pallon pinnalla. Toinen luonnehdinta onkin ajatella geodeettista käyrää pinnalla kulkevana käyränä, joka ei tarpeettomasti mutkittele. Tämä luonnollisesti vaatii täsmällisemmän määrittelyn.

Edellinen luonnehdinta johtaa variaatiolaskentaan. Parametripinnalla \[ s(u,v) = \Bigl(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\Bigr) \] olevalle käyrälle \[ c(t) = \Bigl(x\bigl(u(t),v(t)\bigr),y\bigl(u(t),v(t)\bigr),z\bigl(u(t),v(t)\bigr)\Bigr) \] on etsittävä sellainen parametrisointi $\bigl(u(t),v(t)\bigr)$, joka antaa minimiarvon (tai ääriarvon) käyrän kaarenpituudelle $\int_0^1 \lVert c'(t)\rVert\,dt$. Variaatiolaskennan tavanomainen menettely antaa tällöin toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön funktioille $u(t)$ ja $v(t)$ (variaatiolaskennan Eulerin yhtälö). Lisäksi tarvitaan ehto säätämään parametrin $t$ kasvunopeutta, esimerkiksi $\lVert(u'(t),v'(t))\rVert =$ vakio eli $u'(t)u''(t) + v'(t)v''(t) = 0$. Kyseessä on kahden tuntemattoman funktion ja kahden yhtälön toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmä. Koska käyrän päätepisteet ovat kiinnitetyt, tiedetään $u(0)$, $v(0)$, $u(1)$ ja $v(1)$, jolloin kyseessä on reuna-arvoprobleema.

Pinnan parametriesityksestä riippuu, onnistuuko reuna-arvoprobleeman ratkaisu alkeisfunktioiden avulla; useimmiten ei. Hyvät laskentaohjelmat — minulla Mathematica — onnistuvat kuitenkin usein ratkaisemaan tällaiset ongelmat numeerisesti. Tällöin $u(t)$ ja $v(t)$ saadaan interpoloivina funktioina, joita voidaan käyttää esimerkiksi kuvan piirtämiseen. Aina ratkaisu ei onnistu eikä reuna-arvoprobleeman ratkaisu ole välttämättä edes yksikäsitteinen.

Toinen luonnehdinta, geodeettinen käyrä 'suorana viivana' pinnalla, voidaan täsmällistää vaatimalla, että käyrän tangenttivektorin $c'(t)$ muutos — sen derivaatta $c''(t)$ — on kohtisuorassa pintaa vastaan jokaisessa käyrän pisteessä. Tämä sisältää sekä sen, että käyrä ei tarpeettomasti mutkittele, että parametrin tasaisen kasvamisen (suhteessa kaarenpituuteen). Kohtisuoruus pintaa vastaan tarkoittaa kohtisuoruutta pinnan tangenttivektoreita $\mathrm{D}_u s\bigl(u(t),v(t)\bigr)$ ja $\mathrm{D}_v s\bigl(u(t),v(t)\bigr)$ vastaan, ts. että skalaaritulot ovat $= 0$. Tuloksena on tässäkin kahden tuntemattoman funktion ja kahden yhtälön toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmä funktioille $u(t)$ ja $v(t)$. Tälle on luonnollista antaa alkuehdot: alkupiste ja alkusuunta, ts. arvot $u(0)$, $v(0)$, $u'(0)$ ja $v'(0)$. Tällöin ratkaisukin on yksikäsitteinen differentiaaliyhtälöiden yleisen yksikäsitteisyyslauseen mukaisesti.

Millaisia kuvia sitten syntyy?

Pallon tapauksessa saadaan ison ympyrän kaaria kuten odotettavissa onkin. Lieriön geodeettiset käyrät ovat ruuviviivoja (tai lieriön emäsuoria). Kumpikin voidaan laskea alkeisfunktioiden avulla eikä numeerisia ratkaisuja tarvita.

Ellipsoidin geodeettiset käyrät ovat hieman erikoisempia: ne eivät välttämättä sulkeudu. Alla oleva kuvio on laskettu alkuarvoprobleemana antamalla käyrän alkupiste ja alkusuunta (ja parametrin maksimiarvo).

Ellipsoidin geodeettinen käyrä

Pinta $z = 5/(1+x^2+y^2)$ kuvaa jonkinlaista vuorenhuippua. Jos lasketaan reuna-arvoprobleemana kahta vastakkaista pistettä yhdistävä käyrä, saadaan vuorenhuipun yli kulkeva käyrä, siis mahdollisimman pitkä reitti. Samoja pisteitä yhdistää kuitenkin myös lyhin reitti, mutta Mathematican reuna-arvoprobleeman ratkaisualgoritmi ei löydä tätä. Alkuarvoprobleemana se löytyy, mutta oikea lähtösuunta on haettava kokeilemalla. Muuttamalla alkuarvoprobleeman lähtösuuntaa löydetään hieman erikoisempiakin geodeettisia käyriä (alin kuvio).

Laskentaohjelma tarjoaa myös kokonaan toisenlaisen tavan etsiä kahden pisteen lyhin etäisyys pintaa pitkin kulkemalla. Yritän palata tähän jossakin tulevassa postauksessa.

Differentiaaliyhtälöiden vaikeus

Differentiaaliyhtälöiden alkeiskurssilla keskitytään usein ratkaisemaan yhtälöiden yksinkertaisia perustyyppejä ja näkemään teoria näiden kautta. Opiskelijalle jää helposti käsitys, että lähes kaikki differentiaaliyhtälöt voidaan ratkaista jollakin algebrallisluonteisella tempulla. Ratkaiseminen tarkoittaa tällöin ns. yleisen ratkaisun löytämistä tavallisten alkeisfunktioiden avulla esitettynä. Tavallisiksi alkeisfunktioiksi kutsutaan potensseja, eksponentti-, logaritmi- ja trigonometrisia funktioita sekä näiden käänteisfunktioita ja niistä peruslaskutoimituksilla tai funktioiden yhdistämisellä saatuja funktioita.

Differentiaaliyhtälön ratkaisun olemassaolo on eri asia. Esimerkiksi varsin yksinkertaiselle differentiaaliyhtälölle $y' = x^2 - y^2$ voidaan piirtää suuntakenttä, koska suoraan yhtälöstä voidaan laskea ratkaisukäyrän derivaatta, ts. sen suunta missä tahansa pisteessä $(x,y)$. Suuntakenttäkuva antaa aiheen uskoa, että jokaisen tason pisteen kautta todellakin kulkee jonkin ratkaisufunktion kuvaaja. Voidaanko funktio lausua alkeisfunktioiden avulla, on täysin eri ongelma. Tietyn pisteen kautta kulkevan (eli tietyn alkuehdon täyttävän) ratkaisufunktion olemassaolon varsinainen todistaminen on hankalampi asia enkä tässä siihen paneudu.

Differentiaaliyhtälön $y' = x^2-y^2$ suuntakenttä
(https://homepages.bluffton.edu/~nesterd/apps/slopefields.html)

Differentiaaliyhtälön $y' = x^2 - y^2$ yleisen ratkaisun lausekkeen löytäminen ei peruskurssitiedoilla onnistu. Hyvät laskentaohjelmat suoriutuvat kuitenkin monista differentiaaliyhtälöistä peruskurssitaitoja paremmin. Esimerkiksi laskentaohjelma Mathematica antaa em. yhtälölle yleisen ratkaisun
\[
y(x)=-\frac{i x^2 \left(-C J_{-\frac{5}{4}}\left(\frac{i x^2}{2}\right)+C
   J_{\frac{3}{4}}\left(\frac{i x^2}{2}\right)-2 J_{-\frac{3}{4}}\left(\frac{i
   x^2}{2}\right)\right)-C J_{-\frac{1}{4}}\left(\frac{i x^2}{2}\right)}{2 x \left(C
   J_{-\frac{1}{4}}\left(\frac{i x^2}{2}\right)+J_{\frac{1}{4}}\left(\frac{i
   x^2}{2}\right)\right)}.
\]
Tässä $C$ on yleisessä ratkaisussa esiintyvä vakio, jonka eri arvoilla saadaan eri pisteiden kautta kulkevat ratkaisukäyrät (ei tosin aivan ongelmitta). Ratkaisussa esiintyy imaginaariyksikkö $i$, vaikka funktion arvot ovatkin reaalisia, kun $x$ on reaalinen. Funktio $J$ eri alaindekseillä on Besselin funktio. Tämä on yksi ns. erikoisfunktioista ja $J_n$ on määritelty eräänä Besselin differentiaaliyhtälön $x^2y'' + xy' + (x^2-n^2)y =0$ ratkaisuna. Tämäkin on sellainen yhtälö, jonka ratkaisua ei voida lausua alkeisfunktioiden avulla. Besselin differentiaaliyhtälö esiintyy monissa fysiikan ilmiöiden mallinnuksissa ja sen seurauksena sen ominaisuudet tunnetaan ja arvot voidaan laskea varsin tarkasti. Laskentaohjelmien kannalta se ei ole sen ihmeellisempi funktio kuin $\sin(x)$ tai $\cos(x)$ (jotka myös voidaan määritellä erään differentiaaliyhtälön ratkaisuina, nimittäin $y'' + y = 0$).

Yleinen ratkaisu kovin monimutkaisen lausekkeen avulla esitettynä ei välttämättä ole käyttökelpoinen.  Sellaistakaan ei läheskään aina voida löytää edes erikoisfunktioiden avulla. Usein onkin luontevampaa etsiä ratkaisua numeerisesti, jolloin tavoitteena on löytää yleisen ratkaisun sijaan vain yksi, sopivan lisäehdon täyttävä ratkaisu.

Tälle hetkelle tyypillinen esimerkki on epidemian kehitystä koskeva SIR-malli. Tämä on kolmen differentiaaliyhtälön ryhmä, jossa on kolme tuntematonta funktiota $S(t)$, $I(t)$ ja $R(t)$, muuttujana aika $t$:
\[
\left\{
\begin{aligned}
S'(t) &=-\beta I(t) S(t), \\ I'(t) &= \beta I(t) S(t) - \gamma I(t), \\ R'(t) &= \gamma I(t).
\end{aligned}
\right.
\]
En puutu tässä yhteydessä siihen, miten malli on muodostettu ja mikä on funktioiden $S$, $I$ ja $R$ merkitys. $\beta$ ja $\gamma$ ovat epidemialle ominaisia vakioita. (Tiivis esitys mallista on esimerkiksi Mikko Rahikan blogissa.  Muutoinkin verkosta löytyy aiheeseen liittyvää materiaalia runsain mitoin.)

Odotin, että Mathematica ei löytäisi mallille yleistä ratkaisua, mutta yllätyksekseni tällainen löytyi. Se on kuitenkin siinä määrin monimutkainen, että käytännöllistä merkitystä ei varmastikaan ole. Jonkinlaisella kritiikilläkin siihen lienee syytä suhtautua.

Numeerisen ratkaisun etsiminen on tarkoituksenmukaisempaa. Tällöin tarvitaan lisäehtoja, esimerkiksi ns. alkuehdot, ts. funktioiden arvot aloitushetkellä. Jos näiksi valitaan $S(0) = 10000$, $I(0) = 1$, $R(0) = 0$ ja vakioille käytetään arvoja $\beta = 0.0007$, $\gamma = 1.5$, saadaan epidemialle tyypilliset ratkaisufunktioiden kuvaajat:

SIR-mallin tyypilliset ratkaisukäyrät

Mathematica antaa ratkaisufunktiot interpoloivina funktioina (InterpolatingFunction). Nämä ovat sopivalla algoritmilla laskettuja approksimaatioita, mutta niitä voidaan Mathematicassa käsitellä funktioina samalla tavoin kuin mitä tahansa muuta funktiota, mm. niitä voidaan derivoida. Jos ratkaisut sijoitetaan alkuperäiseen yhtälöryhmään, tämä ei tarkalleen toteudu, mutta saadaan jonkinlainen kuva approksimaation tarkkuudesta. Alla oleva kuva esittää keskimmäisen yhtälön toteutumisessa olevaa virhettä. Ratkaisujen tarkkuus on käytännössä riittävä, mutta tietty varauksellisuus on paikallaan. Vaikka Mathematican interpoloivia funktioita voidaankin esimerkiksi derivoida, ei derivaattojen tarkkuus ole enää yhtä hyvä.

SIR-mallin keskimmäisen yhtälön toteutumisessa oleva virhe

Mitä tästä pitäisi oppia? Laskentaohjelma on hyvä työkalu, mutta ei pidä odottaa, että se ratkaisee kaikki matemaattiset ongelmat vaivatta. Käyttäjän tulee ymmärtää, mitä on tekemässä.

Mietteitä pitkän matematiikan ylioppilaskokeesta

Entisenä ylioppilastutkintolautakunnan matemaatikkojäsenenä seuraan edelleen ainakin jonkinlaisella kiinnostuksella ylioppilaskokeita. Muutoksiahan on minun aikani jälkeen tapahtunut paljon. Tutkinto on digitalisoitu useallakin tavalla: tehtävissä on aiempaa monipuolisempia materiaaleja, käytetään erilaisia tietokoneohjelmistoja, kokeiden organisaatio perustuu aika laajaan tietotekniikan hyödyntämiseen.

Aktiivisesta työstä poisjääminen antaa usein mahdollisuuden katsella asioita hieman etäämmältä, kun akuutit ongelmat eivät enää kaadu päälle. Pohdin seuraavassa eräitä näkökulmia, vaikka osuutta tutkinnon kehittämiseen minulla ei olekaan.

Tavalliseen tapaan pitkän matematiikan koetta on pidetty vaikeana. Taktisista syistä koulukollektiivin kannattaa tietenkin olla tätä mieltä, toiveena saada seuraavalla kierroksella helpompi koe, ts. sama arvosana vähemmällä työllä. Jos kuitenkin yritän objektiivisesti arvioida koetta, en voi pitää sitä kovin vaikeana. Joukossa toki on vaikeita tehtäviä, mutta myös sellaisia, joista aika helposti voi kerätä pisteitä, vaikka tehtävän täydellinen ratkaisu ei onnistuisikaan. Näin minusta pitääkin olla.

Tehtävä 6 ratkaistuna GeoGebralla

Perinteisen laskemisen ja ohjelmistojen käytön välinen rajanveto tuntuu ongelmalliselta.  Tämä tulee esiin erityisesti tehtävässä 6, jossa annetaan paraabeli ja sen ulkopuolinen piste. On määrättävä ne paraabelin pisteet, joihin asetettu tangentti kulkee annetun pisteen kautta, ja annettua pistettä lähinnä oleva paraabelin piste sekä etäisyys tähän. Vastaukseksi kelpaavat myös likiarvot. Hyvin klassinen tehtävä ja hyvän vastauksen piirteissäkin on klassinen ratkaisu. Mutta tehtävä ratkeaa näppärästi myös GeoGebran funktioilla Tangentti, Etäisyys ja LähinPiste (Tangent, Distance, ClosestPoint), kuten yllä oleva kuva osoittaa. Muita kokeessa sallittuja ohjelmistoja minulla ei ole, joten en osaa sanoa, löytyykö niistäkin vastaavat työkalut.

Vaikka GeoGebraa käytettäessä ei tarvitsekaan laskea yhtään mitään, tehtävän hahmottaminen kyllä edellyttää jonkinlaisia matemaattisia perustietoja GeoGebran hallitsemisen lisäksi. Eri ratkaisutavat pohjautuvat kuitenkin hyvin erilaisiin matemaattisiin taitoihin. Tällöin joudutaan pohtimaan, mitä tehtävä oikeastaan mittaa. Halutaanko painottaa ohjelmistoihin perehtymisen tärkeyttä? Pitäisikö kokelaan perehtyä useisiin kokeessa tarjolla oleviin ohjelmistoihin, koska niissä saattaa olla tiettyyn tehtävään eritasoisia työkaluja? Näin, vaikka juuri näitä ohjelmistoja myöhemmissä opinnoissa tai elämässä yleensäkään ei enää käytettäisi? Taustalla on aika olennainen kysymys: Mitä varten matematiikkaa koulussa oikeastaan opetetaan? Mitä sen opetuksen pitäisi kattaa?

Olen aikoinani pitänyt tarpeellisena laskentavälineiden ja ohjelmistojen tuomista koulun matematiikan opetukseen. Samalla olen sanonut, että se edellyttää muutoksia monissa asioissa eikä muutos ole tämän takia helppo. Periaatteessa olen samaa mieltä edelleen, mutta muutos olisi pitänyt toteuttaa toisin, eikä missään tapauksessa yrittää digitalisoida ylioppilastutkintoa kaikissa suhteissa samaan aikaan. Ohjelmistot ovat ohjanneet opetusta liiaksi, eikä niiden kehitys aina ole edennyt hyvään suuntaan. GeoGebrakin oli lähtökohdiltaan hyvä, mutta minusta se on mennyt pilalle ominaisuuksien lisääntyessä. Eroonkaan siitä ei helposti enää päästä. (Onneksi olen eläkkeellä eikä minun tarvitse kirjoittaa muistiota asiasta.)

Ohjelmistojen käytön kannalta ongelmallisia ovat myös pitkän matematiikan kokeen tehtävät 8 (polynomien jakoalgoritmi), 11 (lukujono) ja 12 (geometrisen keskiarvon todennäköisyyksiä).  Polynomien jakolaskuun on GeoGebrassa valmis komento, jota kyllä tässä ei sanamuodon perusteella ilmeisestikään voi käyttää, mutta yleisemmin voi pohtia, miten tehtävien tulisi suhtautua tarjolla oleviin laskentatyökaluihin. Millaisia laskentatyökaluja tulisi oppia käyttämään? Lukujonotehtävässä raja-arvo on löydettävissä numeerisella rekursiivisella laskulla. Tällöin lasketaan likiarvoilla, mutta tulos tulee täysin selväksi. Riittäisikö tämä, kun kerran luotamme laskimeen monissa muissakin numeerisissa laskuissa?

Tehtävän 12 ratkaiseminen kaikki tapaukset taulukoimalla tai simuloinnilla on mielenkiintoinen avaus.  Millaisia ja miten näppäriä tapoja eri ohjelmistot tarjoavat tähän? Hyvän vastauksen piirteissä on annettu kaksi taulukkolaskentatiedostoa, joiden mielekkyyttä en oikein ymmärrä. Alla on vertailun vuoksi tiivis ratkaisu Mathematicalla, joka tosin ei ole kokeessa käytettäviä ohjelmistoja.

Tehtävän 12 jälkiosa ratkaistuna Mathematicalla

Ohjelmistojen käytöstä huolimatta kokeen on syytä mitata nimenomaan matematiikan osaamista, ei ohjelmistojen ehkä hieman eksoottistenkin piirteiden hallitsemista. En oikein usko, että tähän on muuta tietä kuin muotoilla tehtävänannot osoittamaan näkökulma, josta asiaa tulee tarkastella.  Joskus oli aika, jolloin saattoi luottaa siihen, että tehtävän ratkaiseminen osoitti myös tietyn matematiikan osaamista. Ohjelmistojen aikana tämä ei enää päde.

Lisää silmän huijaamisesta

Kirjoitin viimeksi kirjasta, jossa esiteltiin trompe l'œil -maalauksia ja -rakenteita Roomasta. Ei toki tarvitse mennä juuri Roomaan, vaan vastaavia ilmiöitä löytyy muualtakin, myös Suomesta. Helsingin elokuvateatteri Orionissa on kapeneva perspektiivinen käytävä samaan tapaan kuin Vatikaanissa.  Ehkä Vatikaanissa on komeampi; en kylläkään ole käynyt katsomassa. Helsingin Suomalaisen Yhteiskoulun (SYK) pihalla on Anssi Asunnan teos Valekuutio, joka panee ohikulkijan hieraisemaan silmiään. Tiedekeskus Heurekan ulkoseinältä löytyy myös samankaltaisia kuutioita, nekin Anssi Asunnan teoksia.

SYK:n valekuutio kaukaa ja läheltä

Mikä Valekuutiossa sitten hämää ja miksi käy näin? SYK:n kuutio sijaitsee piha-aukion laidassa.  Hieman etäämmällä kulkevasta näyttää, että kuutio kääntyy ja seuraa hänen kulkuaan. Jos hän pysähtyy, niin kuutiokin pysähtyy. Ja kun hän jatkaa kulkuaan, kuutio alkaa taas kiertyä. Lähemmäksi mennessä salaisuus paljastuu: kyseessä ei olekaan kuution muotoinen kappale, vaan ainoastaan yksi kuution nurkka sisältäpäin katsottuna. Mutta miksi katsoja tulee hämätyksi?

Geometrisista kappaleista on tapana piirtää mallikuvia, jotka ovat ns. aksonometrisia kuvia, ts.  muodostettu yhdensuuntaisprojektion avulla. Tällöin kappaleen yhdensuuntaiset suorat näkyvät kuvassakin yhdensuuntaisina. Ohessa on tällainen kuva kuutiosta, ns. rautalankamallista, ei massiivisesta kuutiosta. Sinisellä piirretyt särmät ovat katsojaan päin, punaiset katsojasta poispäin, ja kuutiota katsotaan yläviistosta. Mutta kuva on kaksikäsitteinen: yhtä hyvin voidaan ajatella, että kuutiota katsotaankin alaviistosta ja punaiset särmät ovat katsojaan päin, siniset takana. Useimmille ihmisille edellinen tulkinta dominoi. Syynä ehkä se, että olemme tottuneet katsomaan kuutioita yleensä vähän ylempää, emme alempaa.

Aksonometrinen ja perspektiivinen kuutio

Aksonometrinen kuution kuva näyttää herkästi hieman venähtäneeltä. Keskusprojektiolla muodostettu perspektiivikuva näyttää yleensä paremmalta. Syynä on, että niin silmä kuin kamerakin noudattaa keskusprojektiota (kohtalaisen tarkasti). Perspektiivikuvassa yhdensuuntaisten suorien kuvat eivät aina olekaan yhdensuuntaisia, vaan ne tähtäävät yhteiseen pakopisteeseen. Oheisessa kuvassa vaakasuorat ovat tällaisia, pystysuorat kyllä ovat yhdensuuntaisia (mikä ei olisi välttämätöntä).  Kaksitulkintaisuus ei tässä oikein toimi. Siniset särmät ovat katsojaan päin, punaiset takana.  Päinvastainen näyttää omituiselta. Tässäkin on kysymys oppimisesta: olemme tottuneet näkemään asiat säännöllisinä, ja jos punaiset viivat olisivat etualalla, kyseessä ei olisi säännöllinen kuutio.  Hylkäämme siis toisen tulkinnan.

Jos jätetään etualan särmät pois, saadaan kuva, jonka yleensä tulkitsemme kuution takaosan soppea esittäväksi. Jos se esittäisi katsojaan päin olevaa kuution kärkeä, olisivat vaakasuorien suuntien pakopisteet väärällä puolella, ja tämän takia tulkinta hylätään. Mutta katsojaahan voi huijata: Pidetään soppi muutoin ennallaan, mutta muutetaan hieman sen sivutahkoja. Veistetään niiden reunoista pois kolmionmuotoiset palat siten, että saadaan pakopisteet toiselle puolelle.  Sivutahkot eivät tällöin ole oikeastaan enää neliöiden kuvia, mutta tulos hahmotetaan säännöllisen kuution nurkaksi, jonka kärki on katsojaan päin.

Kuution soppi sisältäpäin ja pakopistesuunnat korjattuina

Valekuutiossa on tehty tämäntyyppinen konstruktio. Senkään sivutahkot eivät ole neliöitä, ja tämän takia se hahmotetaan ulkoapäin katsotuksi kuutioksi, vaikka se onkin vain soppi.

Toki Anssi Asunta ei ole jättänyt hämäystä vain tämän varaan. Sivutahkojen pinnat ja niissä olevat pintakäsittelyt vahvistavat hämäävää vaikutusta.

Viime aikoina paljon siteeratun sanonnan mukaan matematiikkaa on kaikkialla. Ehkei aivan kaikkialla, mutta aika yllättävissäkin paikoissa. Eikä aina ole suinkaan kyse modernista digitaalitekniikasta.

Projektiokuvista enemmän kiinnostuneelle lukijalle tarjoan kirjaani Perspektiivikuvan geometriset perusteet (http://www.elisanet.fi/simo.kivela/kirjat.html).

Silmän huijaaminen ja perspektiivin geometria

American Mathematical Society ja Mathematical Association of America ovat yhdessä julkaisseet viime vuonna kirjan Optical Illusions of Rome, jonka tilasin joulun alla.  Tekijä on matematiikan historiaa tutkinut Kirsti Andersen Aarhusin yliopistosta, ja teos on alunperin ilmestynyt tanskaksi. Aiheena ovat pääosin renessanssiaikaiset perspektiiviset seinäkuvat ja arkkitehtoniset rakenteet sekä niiden taustana oleva keskusprojektion — eli perspektiivikuvien — teoria. Kolmiulotteista projektiivista geometriaa siis.

Perspektiivikuvien piirtämisen lait selvitettiin renessanssiaikana. Monet taiteilijat ja arkkitehdit tekivät erilaisia perspektiivikokeiluja, ja asiaa tutkittiin myös geometrisesti. Erityisesti Albrecht Dürer (1471–1528) oli paitsi taiteilija myös geometrikko, ja hänen teoksensa Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt in Linien ebnen unnd gantzen corporen vuodelta 1525 on deskriptiivisen geometrian klassikko.

Perspektiivikuvan muodostaminen Dürerin teoksessa Underweysung ...

Perspektiivilakien tunteminen ja innostus kokeiluihin johti ns. trompe l'œil -illuusioiden konstruointiin.  Tavoitteena oli huijata silmää (ransk. tromper l'œil) luomalla vaikutelma tilasta, jota todellisuudessa ei ollut. Esimerkiksi huoneen seinään maalattiin perspektiivikuva, jossa pylväikön takaa aukeni avara näköala kauniiseen ympäristöön. Jos rakennusteknisistä (tai taloudellisista) syistä kirkon päälaivan päälle ei voitu rakentaa kupolia, kattoon maalattiin kupolin perspektiivikuva. Alla olevat kirjassa käsitellyt esimerkit ovat Roomasta, mutta vastaavia on toki tehty muuallakin.

Virtuaalinen takaseinä, Villa Farnesina, Sala delle prospettive,
Combusken (Wikimedia Commons) [CC BY-SA]

Virtuaalinen kupoli,Chiesa di Sant'Ignazio,
Jean-Christophe Benoist (Wikimedia Commons) [CC BY-SA]

Ongelmana oli, että periaatteessa perspektiivikuva näyttää oikealta vain katsottuna yhdestä ainoasta pisteestä, siitä projektiokeskuksesta, jota käyttäen kuva on muodostettu. Muualta katsottaessa kuva näyttää enemmän tai vähemmän vääristyneeltä. Ihmissilmä on kuitenkin niin tottunut katsomaan kuvia, että pienet vääristymät eivät häiritse, vaan aivot tulkitsevat kuvan parhain päin. Tästä huolimatta kuvien laatiminen edellytti perspektiivilakien tarkkaa tuntemista sekä taidokkaita valintoja ja kompromisseja.

Saatettiin toimia myös toisin päin. Seinälle maalattiin kuva, joka näytti omituiselta ja venähtäneeltä ja jonka hahmottaminen ei oikein onnistunut. Se oli kuitenkin oikein konstruoitu perspektiivikuva, mutta oikea katselupaikka on hieman sivussa yllättävässä paikassa. Tästä katsottuna kuva hahmottuu helposti.

Paitsi maalauksia — perspektiivikuvia — tehtiin myös kolmiulotteisia kokeiluja. Vatikaanissa on sisätiloihin johtava porraskäytävä (Scala Regia), joka vähitellen kapenee ja madaltuu ja jonka reunoilla olevat pylväät ovat yhä tiheämmässä. Seurauksena on vaikutelma mahtavammasta portaikosta kuin todellisuudessa on kyse. Paikassa ei myöskään olisi tilaa näyttävämmälle portaikolle.

Scala Regia -portaikko,
Sailko (Wikimedia Commons) [CC BY]

Portaikko on arkkitehti Gian Lorenzo Berninin suunnittelema, eikä sen geometrinen konstruktio ole aivan yksinkertainen.  Periaatteessa kyseessä on kollineaarinen kuvaus (kollineaatio) kolmiulotteisesta avaruudesta siihen itseensä.  Tässä suorat kuvautuvat suoriksi. Olemassa oleva portaikko on fiktiivisen kapenemattoman portaikon kollineaarinen kuva.

Andersenin kirja sisältää myös lyhyen ja selkeän johdatuksen perspektiivin geometriaan sekä muutamia harjoitustehtäviä. Jos lukija haluaa yksityiskohtaisemman esityksen, tällainen on olemassa myös suomeksi: Alan klassikko on Teknillisen korkeakoulun sovelletun matematiikan professorin E. J. Nyströmin kaksikielinen (painettu) moniste Perspektiivioppi – Perspektivlära vuodelta 1947. Tätä saattaa olla vaikeata löytää. Uudempi vaihtoehto on oma teokseni Perspektiivikuvan geometriset perusteet (http://www.elisanet.fi/simo.kivela/kirjat.html).

Neliulotteinen kuvaaja

Tavallisen reaalifunktion $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ kuvaaja muodostuu xy-tason pisteistä $(x,f(x))$, missä $x$ sijaitsee määrittelyjoukossa (tai siinä alueessa, jossa kuvaaja halutaan piirtää).  Kuvaaja asuu siis kaksiulotteisessa tasossa, kuten jokainen lukiolainen tietää.

Entäpä jos kyseessä olisikin kahden muuttujan funktio, jonka arvotkin ovat lukupareja, siis vaikkapa $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, $f(x,y) = (x^2 - y^2, xy)$? Tällöin kuvaaja muodostuu pisteistä $((x,y),(x^2 - y^2, xy))$ tai hieman toisin kirjoitettuna $(x,y,x^2 - y^2, xy)$.  Nämä ovat neliulotteisen avaruuden pisteitä ja kuvaaja siis asuu neliulotteisessa avaruudessa.

Tällaisia funktioita ovat myös kompleksifunktiot: Jos $w = f(z)$ eli $u + iv = f(x + iy)$, ovat sekä $u$ että $v$ funktioita muuttujista $x$ ja $y$. Piste $(x,y)$ kuvautuu siis pisteeksi $(u,v) = (u(x,y),v(x,y))$ ja kuvaaja muodostuu pisteistä $(x,y,u(x,y),v(x,y))$. Tällainen on esimerkiksi kompleksinen eksponenttifunktio, joka yksinkertaisimmin määritellään seuraavasti: \[w = u + iv = \exp(z) = \exp(x + iy) = e^x (\cos(y) + i\sin(y)),\] jolloin \[u(x,y) = e^x \cos(y), \quad v(x,y) = e^x \sin(y).\]
Neliulotteinen avaruus ei ole kovin havainnollinen. Maailmamme on (tai ainakin näyttää olevan) kolmiulotteinen eikä ihmisellä ole ainakaan luonnostaan neliulotteista havaintokykyä tai mielikuvitusta. Voitaisiinko neliulotteisessa avaruudessa asuvaa kuvaajaa kuitenkin jotenkin havainnollistaa?

Kolmiulotteisen avaruuden asioista piirretään kaksiulotteisia kuvia. Matemaattisesti ajatellen tässä on kyseessä projektiokuvaus kolmiulotteisesta avaruudesta sopivasti asetettuun kaksiulotteiseen tasoon (kuvatasoon). Projektiokuvaus on yleensä joko keskusprojektio, jolloin syntyy perspektiivikuvia, tai yhdensuuntaisprojektio, jolloin syntyy ns. aksonometrisia kuvia.

Yhdensuuntaisprojektio on helpompi yleistää neliulotteiseen avaruuteen. Tällöin valitaan neliulotteisessa avaruudessa jokin projisiointisuunta, ts. yksiulotteinen aliavaruus, ja projisioidaan kohde — kuvaaja — tämän kolmiulotteiseen ortogonaalikomplementtiin, kuten lineaarialgebrikko sanoisi. Sitten hän muodostaisi projektiokuvaukselle matriisin. Projektiokuva on siten kolmiulotteisessa avaruudessa asuva pinta.

Laskenta on sen verran suuritöistä, että se on luontevaa tehdä sopivalla laskentaohjelmalla.  Näissä on yleensä myös valmiina työkalut kolmiulotteisen avaruuden objektien katseluun ja pyörittelyyn, jolloin pintaa on helppoa tarkastella kaksiulotteisella näytöllä.

Neliulotteista kuvaajaa voidaan tällöin tarkastella muuttamalla projisiointisuuntaa neliulotteisessa avaruudessa tai pyörittelemällä projektiona saatua pintaa kolmiulotteisessa avaruudessa.

Millaisia kuvia sitten saadaan ja miten helppoa niiden avulla on hahmottaa neliulotteista kuvaajaa? Aivan helppoa se ei ole. Ehkä neliulotteisuudesta ei oikein synny mielikuvaa, mutta projisiointisuuntaa vaihtamalla voidaan saada esiin erilaisia kuvaajan piirteitä.

Eksponenttifunktion tapauksessa kuvaajan pisteet neliulotteisessa avaruudessa ovat muotoa $(x,y,e^x \cos(y),e^x \sin(y))$. Muuttujat on oheisissa kuvissa rajattu ehdoilla $-3 \le x \le 3/2$, $-2\pi \le y \le 2\pi$. Laskenta on tehty Mathematicalla ja artikkelin alussa oleva kuva näyttää Mathematican tarjoaman työskentely-ympäristön. Tässä projektiosuunta annetaan säätimillä, jotka viittaavat neliulotteisen avaruuden pallokoordinaatteihin. Säätimien arvot ovat asteita. Kuvaan on lisätty myös neliulotteisen avaruuden akselit $x$, $y$, $u$ ja $v$.

Alla olevissa kuvissa projisiointisuunnaksi neliulotteisessa avaruudessa on valittu ensin x-akseli ja sitten y-akseli, jolloin nämä projisioituvat yhdeksi pisteeksi.

Valitsemalla projisiointisuunnat sopivasti saadaan alla oleva kuvapari, joka antaa hieman yleisemmin käytetyn tavan kuvata kompleksista eksponenttifunktiota: xy-tason suorakulmainen ruudukko kuvautuu uv-tasoon samakeskisiksi ympyröiksi.