tiistai 30. lokakuuta 2018

SAT-testi ja ylioppilaskoe

Ilman laskinta ratkaistava SAT-tehtävä.

Tuttavapiirin lukiolainen aloitti lukio-opintonsa Suomessa, mutta jatkaa niitä nyt New Yorkissa. Tilanne on siten otollinen suomalaisen ja amerikkalaisen systeemin vertailuun. Sain nähdäkseni sikäläisen SAT-testin, jolla arvioidaan mm. matematiikan osaamista. Näistä testeistä löytyy tietoa myös netistä — kuinkas muuten: https://collegereadiness.collegeboard.org/. Harjoitteluun tarkoitettuja esimerkkikokeitakin on saatavissa:
https://collegereadiness.collegeboard.org/sat/practice/full-length-practice-tests tai
https://collegereadiness.collegeboard.org/psat-nmsqt-psat-10/practice/full-length-practice-tests.
Näissä on neljä osaa, kaksi ensimmäistä liittyvät englannin kieleen, kaksi viimeistä ovat matematiikkaa.

En tarkoin tunne amerikkalaista systeemiä enkä tiedä, mikä on SAT-testien käyttö ja missä määrin ne vaikuttavat esimerkiksi jatko-opintoihin valittaessa, ts. ovatko ne verrattavissa suomalaiseen ylioppilastutkintoon. Tästä riippumatta ne ovat mahdollinen malli päättökokeiden järjestämiseen. Yhden maan ratkaisuja ei yleensä ole mahdollista eikä järkevää sellaisenaan kopioida toiseen maahan, toisenlaisiin oloihin. Eri mahdollisuuksiin kannattaa silti perehtyä: aina voi oppia uutta, saada uusia ideoita. Myös PISA-menestyksellä mitaten maailman parhaassa Suomessa. (En tiedä, missä määrin näin on tehty. Ainakaan en ole nähnyt vertailuihin perustuvia pohdiskeluja ylioppilastutkintoa uudistettaessa. Jos joku tietää, niin kertokoon.)

Jos SAT-testiä ja suomalaista ylioppilastutkintoa verrataan matematiikan osalta, niin mitkä ovat havainnot?

Ensinnäkin SAT-testi on matemaattisessa mielessä selvästi suomalaista ylioppilaskoetta helpompi. Silti arvelen, että monet tehtävistä eivät olisi mitenkään liian helppoja suomalaiseen ylioppilaskokeeseen. Painotus on suomalaista koetta käytännöllisempi.

SAT-koe on kaksiosainen: ilman laskinta ja laskimen kanssa. Ohjelmistoja ei käytetä. Monissa laskinosion tehtävissä laskinta ei millään tavoin tarvita ja on vaikeata keksiä, miten sitä voisi käyttää.

Suurin osa tehtävistä on monivalintatehtäviä, tarjolla on neljä vaihtoehtoa, joista yksi oikea. Vastaukset annetaan koneellisesti luettavalle vastauslomakkeelle. Loppupään tehtävissä annetaan vastaus numeerisesti tietynlaiseen taulukkoon, joka myös luetaan koneellisesti. Arvostelu perustuu siten yksinomaan vastauksiin. Minkäänlaisia selityksiä tai perusteluja ei kirjoiteta.

Hämmästyttävin ero on kuitenkin käytettävissä oleva aika. Eräässä esimerkkikokeessa on laskimettomassa osiossa 20 tehtävää ja aikaa 25 minuuttia. Laskinosiossa on 38 tehtävää ja aikaa 55 minuuttia. Kiire tulee, vaikka tehtävät ovatkin helppoja. Voisi kuvitella, että tulosten hajonta syntyy opiskelijan nopeuden ja paineen sietämisen perusteella. Tällöin voi kysyä, mitä koe oikeastaan mittaa.

Toteutukseltaan koe on varmasti yksinkertaisempi kuin suomalainen ylioppilastutkinto, jonka tietotekninen vaativuus hakee vertaistaan. (Minua hämmästyttää, miten innokkaasti opettajakunta paneutuu aika eksoottiseen tietotekniseen virittelyyn, kun ylioppilastutkintolautakunta käyttää työnantajan valtaa ja käskee.)

Ei SAT-mallia varmastikaan kannata kopioida, mutta siinä voisi olla aineksia, joita kannattaisi harkita. Kyse on paljolti siitä, mitä ylioppilaskokeen halutaan olevan. Jokaisella systeemillä on enemmän tai vähemmän heikkoutena, että se ohjaa opetusta kokeesta selviämisen suuntaan. SAT-mallia on kritisoitu siitä, että opetuksesta tulee testien harjoittelua, mutta ei Suomessakaan vastaavasta kaukana olla. Olisi syytä pitää mielessä lukio-opintojen tarkoitus. Mikä se sitten onkin.

SAT-tehtävä, jossa laskimen käyttö on sallittu.

tiistai 16. lokakuuta 2018

Matematiikan yksikäsitteisyydestä

K. Väisälä, Trigonometria, 5. painos, s. 46
En oikein ymmärrä, mitä matematiikan yksikäsitteisyys voisi tarkoittaa, mutta olen tavannut koko joukon henkilöitä, jotka pitävät matematiikkaa yksikäsitteisenä siinä mielessä, että jokainen matematiikan tehtävä voidaan ratkaista vain yhdellä oikealla tavalla. Käsitys tuntuu minusta aika erikoiselta, mutta ehkä se on yleisempikin, koska didaktikotkin ovat siihen kiinnittäneet huomiota: Riikka Palkki, Matematiikan opettajien ja opettajaopiskelijoiden käsityksiä vertailumenetelmästä (https://www.lumat.fi/index.php/lumat/article/view/327/324). Artikkelin vertailumenetelmä tarkoittaa, että oppilaat joko itse laativat tai heille esitetään erilaisia ratkaisutapoja samaan tehtävään ja että asiaa tämän jälkeen pohditaan.

Milloinkahan tällainen yksikäsitteisyyskäsitys on syntynyt?

Olen käynyt lukioni 50-luvun lopulla ja 60-luvulla opiskellut matematiikkaa yliopistossa. Jo kouluaikana minulle oli selvää, että tehtäviä saattoi ratkaista eri tavoilla, kaikki oikeita. Ei asiaa mitenkään erityisesti painotettu, näin vain tapahtui ja tilanne tuntui täysin luonnolliselta. Se oli myös osa matematiikan viehätystä: asiaa saattoi lähestyä eri näkökulmista ja taustalla oli jotakin invarianttia, näkökulmista riippumatonta.

Onko jossakin vaiheessa noiden aikojen jälkeen matematiikan opetus muuttunut siten, että tehtäviin pyritään tarjoamaan valmis tietyn reseptin mukainen ratkaisu, joka oppilaan tulee oppia? Tavallaan siis opetellaan ulkoa tiettyjä rutiineja: näin ratkaistaan ensimmäisen asteen yhtälö, näin haetaan funktion maksimikohta, näin tämän tyypin tehtävä. Kuvittelen, että ennen opetettiin pikemminkin toisin päin: esimerkiksi erilaisia työkaluja lausekkeen muokkaamiseen ja näiden ominaisuuksia, sitten näitä eri tavoin kombinoimalla ratkaistiin tehtävä. Kombinointi saattoi tapahtua monella tavalla ja syntyi erilaisia ratkaisutapoja.

Toki olen omissa opinnoissani moneen kertaan opetellut myös rutiineja, mutta ainoina mahdollisuuksina en ole niitä koskaan ajatellut. Esimerkkinä vaikkapa rationaalifunktion integrointi: jos et mitään fiksumpaa keksi, niin tee seuraavasti ... Olen myös opettanut tällaisia rutiineja, mutta en toivoakseni koskaan ainoana sallittuna tai ainoana mahdollisena lähestymistapana.

Pitkään matematiikkaan kuului lukioaikanani erillinen trigonometrian osuus. Tässä ratkaistiin myös trigonometrisia yhtälöitä ja jopa epäyhtälöitä. Nämä muodostivat erinomaisen esimerkin mahdollisuuksista käyttää erilaisia lähestymistapoja. Käytettävissä olivat trigonometrian peruskaavat ja näitä saattoi käyttää monella eri tavalla. Tuloksena monia erilaisia ratkaisutapoja. Ehkä kuvaavaa on, että kun säästin lukioaikaiset laskuni käyttääkseni niitä myöhemmin yksityistunteja antaessani, totesin ne aika pian hyödyttömiksi. Omat taidot olivat kehittyneet sen verran, että lähes poikkeuksetta löysin tehtävälle lyhyemmän ja fiksumman ratkaisutavan.

Vaikka trigonometriset yhtälöt olivatkin opettavaisia, olivat ne jo tuolloin aika eksoottinen pitkän matematiikan osa. Vielä enemmän ne olisivat sitä nyt. Sopivia joustavuuden harjoittelukohteita löytyy kuitenkin muitakin, vaikkapa lausekkeiden algebrallinen sievennys. Tämä on sikälikin hyvä vaihtoehto, että sievyys ei ole yksikäsitteistä, vaan riippuu siitä, mitä tuloksella on seuraavaksi tarkoitus tehdä. Eikä symbolisista laskentaohjelmistakaan ole aina apua. Niillä on omat periaatteensa ja tulosten saattaminen johonkin vaihtoehtoiseen muotoon voi olla vaativa tehtävä.

Jos rutiinien sijaan painotetaan sopivien työkalujen opettelua, nousee oleelliseksi kysymykseksi, mitkä ovat tarpeellisia ja sopivia työkaluja. Trigonometria on tässäkin kohdassa hyvä — tai usein huono — esimerkki. Trigonometrisia kaavoja on paljon ja usein esitetään aika sekalainen näistä valittu kokoelma. Oleellisempaa olisi esittää varsin harvoja kaavoja ja näyttää näiden riippuvuudet ja johtaminen. Kyse on matemaattisen tiedon jäsentämisestä, minkä pitäisi olla opetuksen tärkeimpiä tavoitteita. Oman näkemykseni trigonometriasta olen esittänyt lukiolaiselle sopivassa tietosanakirjassa M niinkuin matematiikka, http://matta.hut.fi/matta/isom/isom.pdf#page.106. (Olemassa myös painettuna kirjana, ks. http://www.elisanet.fi/simo.kivela/kirjat.html.)